게임이론의 짧은 역사와 주요 개념
1. 게임 이론의 등장
학습 목표
게임 이론은 무엇을 할 수 있는 지 설명할 수 있다.
게임의 세 가지 구성 요소를 설명할 수 있다.
내쉬 균형의 아이디어를 설명할 수 있다.
게임 이론의 시작
힐베르트(David Hilbert, 1862–1943)
수학을 공리 체계(axiomatic system)로 접근
기호에 대한 정의, 이 기호를 연산하기 위한 규칙이 필요 \(\rightarrow\) 공리 체계와 이에 대한 해석은 독립
비엔나 서클(Wiener Kreis) 소속 연구자의 주도
자연과학, 사회과학, 논리학, 수학자의 정기 연구 모임
수학의 내적 정합성과 형식 논리로서 세계를 구성하고자 함
1924–1936년 까지 슐릭(Moritz Schlick, 1882–1936)이 회장
기원은 1907년, 프랭크(Philipp Frank, 1884–1966), 한(Hans Hahn, 1879–1934), 노이라트(Otto Neurath, 1882–1945)의 모임으로 거슬러 올라감
이외에도 카를 멩거(Karl Menger, 1902–1985), 괴델(Kurt Gödel, 1906–1978), 텔러(Edward Teller, 1908–2003), 울람(Stanislaw Ulam, 1909–1984), 왈트(Abraham Wald, 1902–1950) 등
모겐스턴이 비정기적으로 참여
폰 노이만이 게임 이론의 아이디어를 발표
폰 노이만(John von Neumann, 1903–1957)
헝가리 부다페스트 출생
타고난 천재
6살 때 두 개의 여덟 자리 수 나눗셈을 암산, 고대 그리스어로 대화
완전 기억 능력(Eidetic memory)
헤르만 골드슈타인(Herman Heine Goldstine, 1913–2004)의 회고에 따르면 『두 도시 이야기(A Tale of two cities)』가 어떻게 시작하냐고 묻자, 주저없이 1장부터 시작하여 그만하라고 할 때까지 10–15분간 암송
전화번호부를 외움
김나지움(Gymnasium) 재학 중에는 수학 수업을 면제 받음. 대신 수학 교수로부터 개인 강습을 받음
부다페스트 대학 수학과 학생으로 등록하고 시험도 보았으나 스위스 쮜리히 연방 공과 대학에서 최신의 수학을 공부
- 부다페스트에서는 수학 박사 학위, 쮜리히에서는 화학 공학 학위 취득
1933년 프린스턴 대학에 신설되는 고등연구소(Institute of Advanced Study)로 이직, 가장 젊은 교수였음
전미 과학 아카데미(the National Academy of Science), 스스로의 추천사 중 “나의 업적 중 스스로 가장 핵심이라고 생각하는 것은 양자 역학, 연산자 대수, 에르고딕 이론이다."
2차 세계대전 발발 이후, 다방면의 위원회와 자문 그룹에서 활동: 대륙간 탄도 미사일 위원회, 원자력 위원회 등
수학과 물리학뿐만 아니라, 통계학, 컴퓨터 과학, 경제학에도 기여
모겐스턴(Oskar Morgenstern, 1902–1977)
독일 출생, 비엔나에서 성장
비엔나 대학 교수 그리고 비엔나 대학 경기 순환 연구소 소장(하이에크의 후임) 역임
비엔나 서클 참여, 수학을 경제학에 유용하게 사용할 수 있을 것으로 생각
히틀러의 오스트리아 병합 후, 미국 프린스턴 대학의 제안을 승락하고 미국으로 이주
폰 노이만을 설득,『게임의 이론과 경제 행위』(Theory of Games and Economic Behavior)를 쓰게 함
게임 이론의 출발점
“이 책의 목적은 지금까지 문헌에서 찾을 수 있는 것과는 다른 처리를 필요로 하는 경제 이론의 근본적인 질문에 관한 논의를 제시하는 것이다. … “로빈슨 크루소" 모형으로 대표되는 형태의 경제, 하나의 의지를 가진 고립되어 있는 단일한 개인 또는 조직의 경제 … 사회적 교환 경제의 참여자, … 극대화 문제와 많은 요소에서 유사성이 있지만, … 이를 달성하기 위해서는 다른 사람과의 교환 관계에 참여해야만 한다 [1]."
게임의 구성 요소와 균형
게임: 전략적 상황에서의 의사 결정
전략적 상황
정보가 완전 또는 불완전한 상황에서
어떤 한 경제 주체 A의 행동이 다른 경제 주체 B의 이득에 영향을 줌
- \(\rightarrow\) 반대로 B의 행동이 A의 이득에도 영향을 줌
의사 결정 분석
- \(\rightarrow\) 복잡한 수리적 분석 도구를 사용
따라서, 게임 이론이라는 도구로
시장 경제를 넘어서는 경제 현상, 더 나아가 사회 현상을 분석할 수 있음
다양한 자원 배분 방식(=제도)을 비교할 수 있음
예를 들어,
시장이 없거나 미성숙했을 때, 경제는 어떻게 작동하는가? \(\rightarrow\) 경제사, 개발 경제학
정부(정치인, 관료)는 어떻게 행동하는가? \(\rightarrow\) 정치경제학
민간 기업의 내부에서 어떤 일이 벌어지는가? \(\rightarrow\) 조직 경제학
시장 경제의 다양한 유형을 어떻게 비교할 수 있는가? \(\rightarrow\) 비교 제도 분석
정규형 게임(normal-form)
전략형(strategic form) 또는 정태적(static) 게임 이라고도 함
경기자 또는 행위자의 집합(A set of player or agent)
경기자 \(i\)가 선택할 수 있는 전략의 집합(A set of strategies)
\[s_{i} \in S_{i}\]모든 경기자는 유한 개의 전략을 가짐
즉, 모든 \(i=1,2,3,\ldots,n\)에 대해 \(S_{i}\)는 유한 집합
경기자의 전략 프로파일(Profile)
\[s = (s_{1}, s_{2}, s_{3}, \ldots, s_{n}) \in \prod_{i=1}^{n}{S_{i}} := S\]- 전략을 \(n\)짝(n-tuple)으로 표현
전략 프로파일 \(s\)를 시행했을 때 경기자 \(i\)의 보수(payoff)
\[u_{i}: S \rightarrow \mathbb{R}\]The normal-form representation of an \(n\)-player game specifies the players’ strategy spaces \(G = \{ S_{1}, \ldots, S_{n} \}\)and their payoff functions \(u_{1},\ldots, u_{n}\). We denote this game by \(G = \{ S_{1}, \ldots , S_{n}; u_{1},\ldots, u_{n} \}\) [2].
지배(dominance)와 균형
지배
“충분한 수의 참여자가 자신의 이해에 따라 \(x\)를 \(y\)보다 선호함을 의미하고, … 이러한 \(x\)와 \(y\)의 비교에서 참여자가 그 어떤 제 3의 대안을 고려하는 데 영향을 받지 않는다. 즉 우리는 우월성의 관계를 기본적인 요소로 인식 … 우리는 다양한 의미를 갖고 있는 “우월"하다는 표현 대신, 더 기술적인 성격의 단어를 사용하고자 한다. … 우리는 \(x\)가 \(y\)를 지배한다고 말한다 [3]."
In the normal-form game \(G = \{ S_{1}, \ldots , S_{n}; u_{1}, \ldots, u_{n} \}\), let \(s_{i}^{'}\)and \(s_{i}^{''}\)be feasible strategies for player \(i\)(i.e., \(s_{i}^{'}\)and \(s_{i}^{''}\)are members of \(S_{i}\)). Strategy \(s_{i}^{'}\)is strictly dominated by strategy \(s_{i}^{''}\)if for each feasible combination of the other players’ strategies, \(i\)’s payoff from playing \(s_{i}^{'}\)is strictly less than \(i\)’s payoff from playing \(s_{i}^{''}\):
\[u_{i}(s_{1}, \ldots, s_{i-1}, s_{i}^{'}, s_{i+1}, \ldots, s_{n}) < u_{i}(s_{1}, \ldots, s_{i-1}, s_{i}^{''}, s_{i+1}, \ldots, s_{n})\]for each \((s_{1}, \ldots , s_{i-1}, s_{i+1}, \ldots, s_{n})\) that can be constructed from the other players’ strategy spaces \(S_{1}, \ldots, S_{i-1}, S_{i+1}, \ldots, S_{n}\) [4].
상대의 선택에 관계없이 나의 보수를 극대화 하는 선택이 존재함을 의미
만약 그렇지 않다면?
\(\rightarrow\) 상대의 선택에 따라 나의 최적 선택이 다르다면?
미니맥스 정리(minimax theorem)
혼합전략(mixed strategies)을 구사할 수 있는 한, 두 경기자 간의 제로 섬 게임(zero-sum game)에서 적어도 하나의 균형이 존재
순수 전략 집합에 확률 분포가 정의될 때, 유한 개의 순수 전략을 갖는 경기자의 혼합전략은 각 순수전략을 시행할 확률로 나타낼 수 있음
가위바위보 게임에서 경기자의 혼합 전략은 (가위를 낼 확률, 바위를 낼 확률, 보를 낼 확률)로 표현 가능 \(\rightarrow\) \(\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{4}\right)\)는 가위를 낼 확률이 \(\dfrac{1}{2}\), 바위를 낼 확률이 \(\dfrac{1}{4}\), 보를 낼 확률이 \(\dfrac{1}{4}\)인 혼합전략
In the normal-form game \(G = \{S_{1}, \ldots, S_{n}; u_{1},\ldots,u_{n}\}\), suppose \(S_{i} = \{ s_{i1}, \ldots, s_{ik}\}\). Then a mixed strategy for player \(i\)is a probability distribution \(p_{i} = (p_{i1}, \ldots, p_{iK})\), where \(0 \leq p_{ik} \leq 1\)for \(k=1, \ldots, K\) and \(p_{i1} + \cdots + p_{iK} = 1\) [5].
- 제로 섬 게임: 어느 한 경기자의 이득 또는 손실은 다른 경기자의 손실 또는 이득과 같음
\(\rightarrow\) 게임 경기자가 단 둘인 경우만 증명, \(n\)으로 일반화 했을 때의 균형은? 게임 경기자가 받는 보수값도 제로 섬이 아니라면(non-zero-sum game)?
게임 이외 폰 노이만의 공헌
기대 효용(expected utility)의 도입
어떤 복권 \(L\)의 결과가 \(A\)와 \(B\)이고, 각각이 일어날 확률이 \(p\), \(1-p\)일 때,
이 복권의 기대 효용 \(u(L) = pu(A) +(1-p)u(B)\)
내쉬(John Forbes Nash, Jr., 1928–2015)
역시 타고난 천재, 만 20세가 되기 전에 수학 학사와 석사 학위를 받음
- 프린스턴 대학 박사 과정 진학시 카네기 멜론 대학의 더핀(Richard Duffin, 1909–1996)은 “이 사람은 천재입니다(This man is a genius)"라는 한 문장의 추천서를 써준 것으로 유명
박사 학위 논문인 “비협조게임"은 단 28쪽
하지만, 그 이후 정신 질환으로 활동하지 못함
내쉬 균형(Nash equilibrium)
어떤 비협조게임에서든, 경기자의 수나 보수의 합이 일정해야한다는 조건에 관계 없이, 각 경기자가 유한한 순수 전략을 갖는다면, 정규형 게임에는 적어도 하나의 혼합전략균형이 존재함을 증명
비협조게임(non-cooperative game): 개별적인 의사 결정(individual decision making), 계약 이행의 제약이 없음(non-binding contract). 즉, 어떠한 외부 조건이 없이, 게임 당사자 간의 이해 관계에 따라, 스스로 계약을 지킬 의무만 있는 게임
\(\leftrightarrow\)협조게임(cooperative game): 집단적인 의사 결정(group decision making), 게임 참여자 간의 연합(coalition)이 가능, 계약 이행의 제약(binding contract)을 만들 수 있음
In the normal–form game \(G = \{ S_{1},\)…\(, S_{n}; u_{1},\)…\(, u_{n} \}\), the strategy profile \((s_{1}^{*}, \ldots, s_{n}^{*})\)is Nash equilibrium if, for each player \(i\), \(s_{i}^{*}\)is (at least tied for) player \(i\)’s best response to the strategies specified for the \(n-1\)other players, \((s_{1}^{*}, \ldots, s_{i-1}^{*}, s_{i+1}^{*}, \ldots, s_{n}^{*})\):
\[u_{i}(s_{1}^{*}, \ldots, s_{i-1}^{*}, s_{i}^{*}, s_{i+1}^{*}, \ldots, s_{n}^{*}) \geq u_{i}(s_{1}^{*}, \ldots, s_{i-1}^{*}, s_{i}, s_{i+1}^{*}, \ldots, s_{n}^{*})\]for every feasible strategy \(s_{i}\)in \(S_{i}\); that is, \(s_{i}^{*}\)solves
\(\max_{s_i \in S_{i}} u_{i}(s_{1}^{*}, \ldots, s_{i-1}^{*}, s_{i}, s_{i+1}^{*}, \ldots, s_{n}^{*})\) [6].
\(\rightarrow\) 어떤 경기자도 자신의 전략을 바꿀 유인이 없는 상태(No incentive to deviate)
정치화(精緻化, refinement)
너무 많은, 이치에 맞지 않는(implausible) 내쉬 균형이 존재하는 경우가 있음
\(\rightarrow\) 따라서 합리적 규준을 통해 내쉬균형을 정치화할 필요가 있음
2. 게임 이론의 발전
학습 목표
- 전개형 게임의 특징을 설명할 수 있다.
전개형 게임
각 경기자의 행동이나 전략 선택이 동시에(simultaneously) 일어나는것이 아나라 순서를 두고(sequentially) 일어나다면 \(\rightarrow\) 전개형 게임(extensive-form game) 또는 동태적(dynamic) 게임이라고도 함
경기자의 움직임에 따른 순서가 있고, 경기자는 언제 의사 결정을 해야 하는 지 알고 있음
The extensive-form representation of a game specifies: (1) the players in the game, (2a) when each player has the move, (2b) what each player can do at each of his or her opportunities to move, (2c) what each player knows at each of his or her opportunities to move and (3) the payoff received by each player for each combination of moves that could be chosen by the players [7].
전개형 게임을 정규형 게임으로 표현할 수 있음
전개형 게임에서 경기자의 전략은 미래에 발생할 가능성이 있는 자신의 모든 선택 상황에 대한 완전한 행동 계획(action plan)
실제로 어떤 선택상황에 놓이는 것과 상관없이, 자신이 직면할 수 있는 모든 상황에서의 행동 계획을 갖고 있음
A strategy for a player is a complete plan of action–it specifies a feasible action for the player in every contingency in which the player might be called on to act [8].
전개형 게임에서의 결과(outcome)
행동으로부터의 결과
즉, 실제로는 선택하지 않을 행동으로 인한 결과까지 포함
정규형 게임을 전개형(extensive form game)으로 표현
경기자의 선택 순서에 대한 규칙이 필요
동시 선택을 표현할 수 있어야 함
죄수의 딜레마 게임
환경
경기자: 죄수 1, 죄수 2
규칙
두 죄수가 모두 범죄를 자백(배신)하면 3년간 복역,
두 죄수 모두 자백을 하지 않으면(협력) 1년간 복역,
어느 한 쪽만 자백하고 다른 한 쪽은 자백하지 않는다면, 자백한 쪽은 석방되고 자백하지 않은 쪽은 10년간 복역
전개형
전개형을 정규형으로
\(P_{2}\) \((C, C)\) \((C, D)\) \((D, C)\) \((D, D)\) \(P_{1}\) \(C\) \(-1, -1\) \(-1, -1\) \(-10, 0\) \(-10, 0\) \(D\) \(0, -10\) \(-3, -3\) \(0, -10\) \(-3, -3\) 정규형
\(P_{2}\) \(C\) \(D\) \(P_{1}\) \(C\) \(-1, -1\) \(-10, 0\) \(D\) \(0, -10\) \(-3, -3\) 정규형 게임의 보수표를 읽는 방법
표의 칸: 두 경기자의 전략쌍의 보수
보수: 경기자 1(열)의 보수를 먼저, 경기자 2의 보수(행)를 뒤에
게임의 균형
경기자 1의 입장에서, 경기자 2가 협력(\(C\))을 선택할 때, 자신에게 유리한 선택 \(\rightarrow\) \(D\)(배신)
경기자 1의 입장에서, 경기자 2가 배신(\(D\))을 선택할 때, 자신에게 유리한 선택 \(\rightarrow\) \(D\)(배신)
반대로 경기자 2의 입장에서 경기자 1이 협력 또는 배신을 선택할 때, 자신에게 유리한 선택을 찾음
\(\rightarrow\) 두 경기자의 선택: \((D, D)\)
죄수의 딜레마 게임의 함의: 왜 ‘딜레마’인가?
죄수의 딜레마 게임의 균형: \((D, D)\)\(\rightarrow\) 모든 경기자가 3년 간 복역
\((C, C)\): 모든 경기자가 1년 간 복역 \(\rightarrow\) 균형보다 더 나은 결과, 경제학의 용어로는 파레토 우월한 상태가 존재
두 죄수 모두 \((C,C)\)가 둘 모두에게 큰 보수를 가져올 것을 알지만, \(D\)를 선택
\(\rightarrow\) 개인적으로 최선의 선택이 사회적으로 최적의 결과가 아님
\(\rightarrow\) 다른 표현으로 조정 실패(coordination failure)
반복 게임과 부분 게임
반복 게임(repeated game)
상대 경기자가 협력할 것이라는 믿음(belief)을 어떻게 가질 수 있을까?
자기 강제적 협약(self-enforcing agreement)으로 만들면 됨 \(\rightarrow\) 보수를 변화시켜 협력이 내쉬 균형이 되도록 하는 것
반복: 경험을 되풀이하여 믿음을 만드는 것
유한 반복 게임(finitely repeated game)
Given a stage game \(G\), let \(G(T)\)denote the finitely repeated game in which \(G\)is played \(T\)times, with the outcomes of all preceding plays observed before the next play begins. The payoffs for \(G(T)\)are simply the sum of the payoffs from the \(T\)stage games [9].
무한 반복 게임(infinitely repeated game)
Given a stage game \(G\), let \(G(\infty , \delta)\)denote the infinitely repeated game in which \(G\)is repeated forever and the players share the discount factor \(\delta\). For each \(t\), the outcomes of the \(t- 1\)preceding plays of the stage game are observed before the \(t\)th stage begins. Each player’s payoff in \(G(\infty , \delta)\)is the present value of the player’s payoffs from the infinite sequence of stage games [10].
부분 게임(subgame)
전체 게임을 각각의 부분으로 나눔
A subgame in an extensive-form game (a) begins at a decision node \(n\)that is a singleton information set (but is not the game’s first decision node),
(b) includes all the decision and terminal nodes following \(n\) in the game tree (but no nodes that do not follow \(n\)), and
(c) does not cut any information sets (i.e., if a decision node \(n^{'}\)follows \(n\)in the game tree, then all other nodes in the information set containing \(n^{'}\)must also follow \(n\), and so must be included in the subgame) [11].
부분 게임 완전 균형
모든 부분 게임에서 내쉬 균형이 되는 전략 프로파일
A Nash equilibrium is subgame-perfect if the players’ strategies constitute a Nash equilibrium in every subgame [12].
\(\rightarrow\) 정치화: 부분 게임 완전 내쉬 균형(SPNE)은 내쉬 균형보다 더 강한 개념
정보와 베이지언 게임
정보 집합(information set)
선택의 순간에서 경기자는 자신이 할 수 있는 선택들을 알고 있지만, 정확히 어떤 상황(decision node)에 놓여있는지는 모름 \(\rightarrow\) 불완전 정보
An information set for a player is a collection of decision nodes satisfying: (i) the player has the move at every node in the information set, and (ii) when the play of the game reaches a node in the information set, the player with the move does not know which node in the information set has (or has not) been reached [13].
불완전 정보(incomplete information)
적어도 하나 이상의 경기자는 다른 경기자가 알고 있는 것이 불확실
게임의 시작에 경기자가 갖고 있는 정보가 다르거나(정보 비대칭성, information asymmetry)
일부 경기자가 자신 만의 정보(private information)를 갖고 있거나
\(\leftrightarrow\)완전 정보 게임
바둑, 체스 등
모든 움직임을 알고 경기를 시작하고, 선택 이전 까지 상대방의 움직임을 모두 관찰하기 때문
베이지언 게임(Bayesian game)
자연(Nature): 유형과 사적 정보를 설정하기 위해 도입
The normal-form representation of an n-player static Bayesian game specifies the players’ action spaces \(A_{1}, \ldots , A_{n}\), their type spaces \(T_{1}, \ldots, T_{n}\), their beliefs \(p_{1}, \ldots, p_{n}\), and their payoff functions \(u_{1}, \ldots, u_{n}\). Player \(i\)’s type, \(t\), is privately known by player \(i\), determines player \(i\)’s payoff function, \(u_{i}(a_{1}, \ldots, a_{n};t)\), and is a member of the set of possible types, \(T_{i}\). Player \(i\)’s belief \(p_{i}(\rvert t_{-i})\)describes \(i\)’s uncertainty about the \(n - 1\)other players’ possible types, \(t_{-i}\), given \(i\)’s own type, \(t_{i}\). We denote this game by \(G = \{A_{1}, \ldots, A_{n}; T_{1},\ldots, T_{n};p_{1}, \ldots, p_{n}; u_{1}, \ldots, u_{n}\}\) [14].
베이지언 내쉬 균형
- 자연, 유형 등의 특성을 제외하면, 정규형 게임과 동일한 구조 \(\rightarrow\) 내쉬 균형의 아이디어를 그대로 사용할 수 있음
In the static Bayesian game \(G = \{A_{1}, \ldots, A_{n}; T_{1},\ldots, T_{n};p_{1}, \ldots, p_{n}; u_{1}, \ldots, u_{n}\}\), the strategy profile \(s^{*}(\cdot) = (s_{1}^{*}(\cdot), \ldots, s_{n}^{*}(\cdot))\) is a (pure strategy) Bayesian Nash equilibrium if for each player \(i\)and for each of \(i\)’s types \(t_{i}\)in \(T_{i}\), \(s_{i}^{*}(t_{i})\)equals the solution of the following problem.
\(\max_{a_{i} \in A_{t}} \sum_{t_{-i} \in T_{-i}} u_{i}(s_{1}^{*}(t_{1}), \ldots,s_{i-1}^{*}(t_{i-1}),a_{i},s_{i+1}^{*}(t_{i+1}),\ldots, s_{n}^{*}(t_{n});t)p_{i}(t_{-i} \vert t_{i})\). [15]
게임의 분류와 균형
Complete Information Incomplete Information Static 내쉬 균형 베이지언 내쉬 균형 Dynamic 부분게임 완전 균형 완전 베이지언 균형
3. 게임 이론의 확장
학습 목표
경매의 기능을 설명할 수 있다.
메커니즘 설계의 아이디어를 설명할 수 있다.
진화 게임의 아이디어를 설명할 수 있다.
경매
경제학에서의 응용
산업조직론(industrial organization): 시장 구조와 경쟁 모형(과점, 쌍방 독점, 답합 등)
계약 이론(contract theory): 협상
경매 이론(auction theory)
메커니즘 디자인(mechanism design): 시장 설계(market design), 짝짓기(matching)
경매(auction)
베이지안 게임의 아이디어로 효율적인 또는 기대수익을 극대화 하는 거래방식을 연구
- 거래 대상의 가치를 찾으면서 효율이나 수익을 극대화할 수 있다.
경매의 종류는 다양, 대표적으로
공개 입찰: 입찰 가격이 경매 참여자 모두에게 알려진 정보
영국식: 가격을 높여감
네덜란드식: 가격을 낮춰감
비공개 입찰: 판매자만 입찰 가격을 알 수 있음
최고 가격 입찰: 가장 높은 가격으로 입찰한 구매자가 자신이 제시한 가장 높은 가격을 지불
제2가격 입찰(또는 Vickrey 경매): 가장 높은 가격으로 입찰한 구매자가 두 번째로 높은 가격을 지불
4개 경매 방식으로 인한 수입이 서로 다를까?
4개 경매 방식의 기대 수입은 같음
(The Revenue Equivalence Principle) Suppose that values are independently and identically distributed and all bidders are risk neutral. Then any symmetric and increasing equilibrium of any standard auction, such that the expected payment of a bidder with value zero is zero, yields the same expected revenue to the seller. [16].
메커니즘 설계
메커니즘 설계(mechanism design)
합리적인 경제 주체는 전략적 상황에서 자신의 보수를 극대화 하려는 행동을 함
게임이론을 이용해 메커니즘을 잘 설계하면 설계자(mechanism designer)가 원하는 결과를 만들어 낼 수 있지 않을까?
- \(\rightarrow\) 시장 실패가 없는 시장을 새로 만들거나 이를 교정하도록 시장을 재설계
실험 또는 시뮬레이션으로 성과를 사전에 파악 \(\rightarrow\) 현실 세계에 적용
성공 사례
경매: 주파수 경매, 구글 검색어 경매(AdWords) 등
짝짓기(matching): 신규 의사 배치, 신장 기증, 공립 학교 선택 등
메커니즘 설계의 구조
메커니즘의 목표가 있음
효율성 극대화
수익 극대화 등
메커니즘의 규칙
자원배분에 관한 규칙(allocation rule)
금전을 어떻게 주고받을 것인가에 대한 이전 규칙(transfer rule) 등
설계자는 메커니즘을 설계하여, 관련된 경기자 또는 행위자(agent)에게 알려줌
- \(\rightarrow\) 이에 따라 설계자에게 각 경기자 또는 행위자가 보고(report)하는, 메커니즘에 조응하는 베이지안 게임이 만들어짐
경기자 또는 행위자는 자발적으로 이 베이지안 게임의 균형대로 행동
경기자 또는 행위자의 균형으로 나타난 결과(outcome)는 설계자가 원래 목표한 결과와 일치
현시 원리(Revelation Principle)
설계자가 원하는 결과를 도출하는 메커니즘을 찾는 일은 어려움
메커니즘에 조응하는 베이지안 게임에서 경기자는 자신의 유형을 그대로 보고할 이유가 없음
현시 원리
메커니즘에 대응하는 베이지안 게임의 균형이 있다면
이 게임을 직접 메커니즘(Direct Mechanism)으로 구현할 수 있음을 의미
따라서 메커니즘 설계자는 따라서 여러 메커니즘이 아닌, 직접 메커니즘만 고려해도 충분
(The Revelation Principle) Given a mechanism and an quilibirum for that mechanism, there exists a direct mechanism (1) it is an quilibrium for each player to report his or her true type and (2) the outcomes are the same as in the given equilibrium of the original mechanism [17].
직접 메커니즘
메커니즘에 조응하는 베이지안 게임이 개인 합리성(Individual rationality)과 유인 양립(incentive compatibility)을 만족함을 의미
개인 합리성: 모든 경기자는 자발적으로 참여
유인 양립: 모든 경기자는 자신이 부여하는 가치를 사실 그대로 드러냄(truth telling)
제2가격 입찰제는 대표적인 직접 메커니즘
메커니즘 설계의 특징
시장 또는 제도를 적극적으로 구성
다양한 시장과 제도를 비교
게임 이론을 적극적으로 활용
시장이 잘 작동할 수 있도록 제도를 새로 또는 다시 설계
협상과 진화 게임
협상(bargaining)
이익을 나누기
게임의 규칙이 중요
- \(\rightarrow\) 경기자의 협상력과 결과를 변화시킴
기본 게임: 최후통첩게임(ultimatum game)
경기자 1이 경기자 2에게 10만원의 분배 비율을 제안
경기자 2가 이를 수락하면 제안대로 분배
경기자 2가 거부하면 경기자 1과 2 모두 보상을 받지 못함
최후통첩게임(ultimatum game)의 변형
독재자 게임: 제안자의 제안을 수락할 수만 있음
역제안 게임: 제안에 대한 대안을 제시할 수 있음
게임 참여자의 수, 게임 횟수, 외부 제안의 도입, 횟수에 따른 할인 또는 감가 상각의 도입 등 다양한 변형이 가능
\(\rightarrow\) 결과가 극단적으로 불평등할 수 있음
현실의 협상은 더 복잡, 실험실의 실험도 이론 예측과 항상 일치하는 것은 아님
진화 게임(evolutionary game)
진화의 속성
개체(individual)의 변이
\(\rightarrow\) 선별(selection) 압력
\(\rightarrow\) 적응도(fitness): 개체군(population)에서의 분포 변화
복제자(replicator)
자기 복제성(self-replicating)
전략적 행위
복제자 동학(replicator dynamics)
특정 복제자가 개체군에서 차지하는 비중의 증가는 다음 두 요소의 영향을 받음
개체군에서 이 복제자를 갖고 있는 개체의 분포
이 복제자를 가진 개체의 현재 적응도와 개체군의 모든 개체의 평균적 적응도의 차이
진화적으로 안정적인 균형(ESS: Evolutionary Stable Strategy)
그 자신에 대해 최적 대응
그 자신에 대한 최적 대응이 아니라면, 적어도 다른 대안에 대해 더 나은 대응
사회 과학에서의 응용
- 이타주의적 행동은 이기주의적 행동에 비해 보수가 낮은데 어떻게 사라지지 않거나 확산되는가?
보론: 게임이론 분석의 간단한 예
영화, “다크나이트" 중
조커는 두 척의 배에 폭탄을 설치하고 두 척의 기폭 장치를 모두 갖고 있음
1에게는 2의 기폭 장치를, 반대로, 2에게는 1의 기폭 장치를 줌
12시까지 상대의 배를 폭파시키는 쪽은 살려주지만
만약 기한까지 누르지 않으면 양쪽 모두를 폭파시킨다고 약속
전형적인 게임 이론의 상황
1의 결정은 1과 2 모두에게 영향을 줌, 2의 경우도 마찬가지
\(\rightarrow\) 전략적 상황
\(\rightarrow\) 이 때의 의사 결정은?
영화의 상황을 게임 이론으로 바꾸어 보면
경기자: \(i = 1, 2\)
전략: \(s = \{ \text{누른다}, \text{기다린다} \}\)
보수: 살아남는다 \(= 1\), 죽는다 \(=-1\)
전략 프로파일에 따른 1과 2의 보수는 다음과 같음
1과 2 모두 기다림 \(\rightarrow\) \((-1, -1)\)
1이 기다리고, 2가 누름 \(\rightarrow\) \((-1, 1)\)
1이 누르고, 2는 기다림 \(\rightarrow\) \((1, -1)\)
1과 2 모두 누름 \(\rightarrow\) \((-1, -1)\)
보수표로 정리하면,
\(P_{2}\) 기다린다 누른다 \(P_{1}\) 기다린다 \(-1, -1\) \(-1, 1\) 누른다 \(1, -1\) \(-1, -1\) 경기자는 자신에게 유리한 선택을 할 것
1에게는
2가 누를 것으로 예상한다면 \(\rightarrow\) 누르거나 기다리거나 차이가 없음
2가 기다릴 것으로 예상한다면 \(\rightarrow\) 누르는 것이 유리
2의 경우도 마찬가지
\(\rightarrow\) 1과 2 모두, 누르는 것이 유리한 행동
두 배, 모두에서 기폭 장치를 누르지 않음
\(\rightarrow\) 게임이론으로 예측한 균형의 행동이 관찰되지 않음
\(\rightarrow\) 게임이론으로 설명할 수 없는 현상인가?
똑같은 의사 결정 방식에서, 보수를 바꾸면 어떻게 될까?
즉, 경기자는 계속 자신에게 유리한 선택을 한다고 생각하자.
다만, 선택에 따른 보상이 바뀐다면?
영화의 대사, “그들도 아직 누르지 않았단 말이에요."가 고민이 되는 이유
나에게 직접적인 위협을 주지 않은 상대방을 희생시켜야하는 결정 \(\rightarrow\) 비난의 대상, 비도덕적 비용(\(c\))의 발생
내가 희생하는 경우
\(\rightarrow\) 칭송의 대상, 도덕적 이득(\(b\))의 발생
그리고 보수를 일반화해보자.
1이 누르고, 2는 기다림 \(\rightarrow\) \((s, -d)\)
…
보수표로 정리하면,
\(P_{2}\) 기다린다 누른다 \(P_{1}\) 기다린다 \(b-d, b-d\) \(b-d, s-c\) 누른다 \(s-c, b-d\) \(-d-c, -d-c\) (기다림, 기다림)이 균형이 되려면
기다림이 누름보다 더 큰 이득이 되어야 함 \(b-d > s - c\)
\(\rightarrow\) 생사의 문제와 도덕적 기준을 비교하는 것으로 정리하면 \(b+c > s+d\)
도덕적 이득과 비도덕적 비용이 같다면(\(b = c\)), \(b > \dfrac{1}{2}(s+d)\)
도덕적 이득이 비도덕적 비용보다 충분히 크다면(\(9b = c\)), \(b > \dfrac{1}{10}(s+d)\)
정리하기
게임 이론은 전략적 상황에서의 의사 결정을 수리 모형으로 분석한다.
게임은 경기자, 전략 집합, 보수로 구성된다.
내쉬 균형은 어떤 경기자도 자신의 전략을 바꿀 유인이 없는 상태를 말한다.
전개형 게임은 선택의 순서가 있는 게임을 말한다.
게임의 시작에서 갖고 있는 정보가 경기자마다 다르거나, 자신 만의 정보를 갖고 있다면 게임의 결과가 달라질 수 있다.
경매에서는 거래 대상의 가치를 찾으면서 효율이나 수익을 극대화할 수 있다.
게임이론을 이용해 메커니즘을 잘 설계하면 설계자가 원하는 결과를 만들어 낼수 있다.
자발적 참여와 자발적인 사실 그대로의 보고를 하도록 메커니즘을 설계한다.
어떤 복제자가 확산되면서 개체군의 진화가 나타남을 게임이론으로 설명할 수 있다.
참고문헌
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[2] Robert Gibbons (1992). Game Theory for Applied Economists. p. 4. Princeton University Press.
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[4] Gibbons (1992). p. 5.
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[11] Gibbons (1992). pp. 122-123.
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[13] Gibbons (1992). p. 119.
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[15] Gibbons (1992). p. 151.
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[17] Krishna (2009). p. 62.