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게임이론으로 이해하는 사회 현상

반복 게임의 응용

  • 기업들이 생산량 경쟁을 하는 경우 담합의 가능성은 무엇인가?

  • 기업들이 가격 경쟁을 하는 경우 담합의 가능성은 무엇인가?

  • 근로자들이 노력을 하도록 유인하기 위한 보수는 어떻게 책정하는가?

생산량 카르텔

  • 핵심만 쏙쏙!

    • 다음 문제에 답을 할 수 있다.

      • 현실 세계의 전략적 상황 \(\rightarrow\) 반복적 상호작용 \(\rightarrow\) 반복게임

      • 합리적 경기자들은 반복되는 상황에서 어떤 전략을 선택하는가?

      • 반복되는 산출량 경쟁 시 각 기업들은 어떤 선택을 하는가?

    • 다음 문제를 생각하자.

      • 시장수요와 각 기업의 한계비용이 주어지면 각 기업의 전략을 파악해야 한다.

      • 담합의 이득은 무엇이며, 배신으로 말미암아 어떤 이득과 손실이 발생하지 파악할 수 있다.

생산량 카르텔

  • 생산량 배분을 위한 담합

  • 담합의 협조와 배신에 따른 보수

  • 죄인의 딜레마

    • Temptation

    • Reward

    • Punishment

    • Sucker

    예시표

    \[T>R>P>S\]

    예시표

  • 유한게임의 균형

    • 파레토 비효율적 결과

    • 협조를 통한 효율적 결과가 있음에도, 상대를 신뢰하지 못하여 배신을 선택

  • Cournot 모형

    • 시장(역)수요함수 \(P=52-4Q\)

    • 기업 1의 생산량 \(Q_{1}\), 기업 2의 생산량 \(Q_{2}\) \(\rightarrow\) \(Q=Q_{1}+Q_{2}\)

    • 각 기업은 동질의 재화를 공급

    • 각 기업의 고정비용은 0

    • 한계비용은 모두 \(C=4\)

    • 각 기업의 이윤 구조

    \[\pi_{i}(Q_{i},~Q_{j})=(52-4Q_{i}-4Q_{j})Q_{i}-4Q{i}\]

    • 각 기업의 이윤극대화 조건

      • 1계조건과 2계조건
      \[(F.O.C)~~~~\frac{\partial \pi_{i}}{\partial Q_{i}}=0~~~~~~~ (S.O.C)~~~~\frac{\partial^{2} \pi_{i}}{\partial Q_{i}^{2}}<0\] \[\begin{split} (F.O.C)~~~~\frac{\partial \pi_{i}}{\partial Q_{i}}&=48-8Q_{i}-4Q_{j}=0\\ Q_{i}&=\frac{12-Q_{j}}{2}\\ Q_{i}&=4~~~~~for~i=1,~2\\ (S.O.C)~~~~\frac{\partial^{2} \pi_{i}}{\partial Q_{i}^{2}}&<0\\ \end{split}\]
      • 각 기업의 이윤 \(\rightarrow\) \(\pi_{i}^{P}=64\) \(\because P=52-4Q_{1}-4Q_{2}=20,~~MC=4\)

담합의 유인

  • 두 기업이 담합하여 마치 하나의 독점기업처럼 행동한다면?

    \[T>{\color{blue}Reward}>P>S\] \[\pi(Q)=(52-4Q)Q-4Q\]

  • 이윤극대화 조건

    • 1계조건과 2계조건
    \[\begin{split} (F.O.C)~~~~\frac{\partial \pi}{\partial Q}&=52-8Q-4=0\\ Q&=6~~~~~Q_{1}=3,~~Q_{2}=3\\ (S.O.C)~~~~\frac{\partial^{2} \pi}{\partial Q^{2}}&<0\\ \end{split}\]
    • 각 기업의 이윤 \(\rightarrow\) \(\pi_{i}^{R}=72\) \(\because P=52-4Q_{1}-4Q_{2}=28,~~MC=4\)

담합의 배신 유인

  • Cournot 모형 1계조건
\[\begin{split} (F.O.C)~~~~Q_{i}&=\frac{12-Q_{j}}{2}\\ \end{split}\]

  • 상대방이 협조하여 \(Q_{j}=3\)을 생산할 때, 자신의 최적량은 \(Q_{i}=\dfrac{9}{2}\)

  • 배신 기업의 이윤 \(\rightarrow\) \(\pi_{i}^{T}=81\) \(\because P=52-4Q_{1}-4Q_{2}=22,~~MC=4\)

\[{\color{blue}Temptation}>R>P>S\]
  • 배신당한 기업의 이윤 \(\rightarrow\) \(\pi_{i}^{S}=54\) \(\because P=52-4Q_{1}-4Q_{2}=22,~~MC=4\)
\[T>R>P>{\color{blue}Sucker}\]

응용해 봅시다.

  • 각 기업의 전략적 상황

예시표

예시표

\[T(81)>R(72)>P(64)>S(54)\]

  • 균형

    • 1회 게임 균형 (배신, 배신)

    • 유한반복게임 균형 (배신, 배신)

  • 신사전략(nice)

    • 경기자 2의 신사전략을 가정

    • 경기자 1이 신사전략을 고수

    \[\begin{split} V&=72+72\delta+72\delta^{2}+\cdots=\frac{72}{1-\delta}\\ v&=(1-\delta)V=72\\ \end{split}\]
    • 경기자 1이 깡패전략으로 변경
    \[\begin{split} V&=81+81\delta+81\delta^{2}+\cdots=\frac{81}{1-\delta}\\ v&=(1-\delta)V=81\\ \end{split}\]

    예시표

    • 신사전략에서 깡패전략으로 바꿀 유인이 있기에 (신사전략, 신사전략)은 내쉬균형이 아니다.

  • 깡패전략(nasty)

    • 경기자 2의 깡패전략을 가정

    • 경기자 1이 깡패전략을 고수

    \[\begin{split} V&=64+64\delta+64\delta^{2}+\cdots=\frac{64}{1-\delta}\\ v&=(1-\delta)V=64\\ \end{split}\]
    • 경기자 1이 신사전략으로 변경
    \[\begin{split} V&=54+54\delta+54\delta^{2}+\cdots=\frac{54}{1-\delta}\\ v&=(1-\delta)V=54\\ \end{split}\]

    예시표

    • 깡패전략에서 신사전략으로 바꿀 유인이 없기에 (깡패전략, 깡패전략)은 내쉬균형이다.

  • 무자비전략(grim)

    • 경기자 2의 무자비전략을 가정

    • 경기자 2는 1기에 \(C\)를 선택하고 있다고 가정

    • 경기자 1이 \(C\)를 선택

    \[\begin{split} V&=72+72\delta+72\delta^{2}+\cdots=\frac{72}{1-\delta}\\ v_{C}&=(1-\delta)V=72\\ \end{split}\]
    • 경기자 1이 \(D\)를 선택
    \[\begin{split} V&=81+64\delta+64\delta^{2}+\cdots=81+\delta\frac{64}{1-\delta}\\ v_{D}&=(1-\delta)V=(1-\delta)(81)+\delta(64)\\ \end{split}\]

    예시표

    • 모든 경기자에 대해 \(v_{C}\ge v_{D}~\rightarrow~\delta\ge \dfrac{9}{17}\)일 때, (무자비전략, 무자비전략)은 내쉬균형이다.

  • 팃포탯(tit-for-tat) 전략

    • 경기자 2의 팃포탯(tit-for-tat) 전략을 가정

    • 경기자 2는 1기에 \(C\)를 선택하고 있다고 가정

    • 경기자 1이 \(C\)를 선택

    \[\begin{split} V&=72+72\delta+72\delta^{2}+\cdots=\frac{72}{1-\delta}\\ v_{C}&=(1-\delta)V=72\\ \end{split}\]
    • 경기자 1이 \(D\)를 선택
    \[\begin{split} V&=81+54\delta+81\delta^{2}+54\delta^{3}+\cdots=\frac{81}{1-\delta^{2}}+\delta\frac{54}{1-\delta^{2}}\\ v_{D}&=(1-\delta)V=\frac{81}{1+\delta}+\delta\frac{54}{1+\delta}\\ \end{split}\]

    예시표

    • 경기자 1이 \(D\)를 선택할 때의 순이득
    \[\begin{split} V_{C}&=72+72\delta+72\delta^{2}+72\delta^{3}+\cdots\\ V_{D}&=81+54\delta+81\delta^{2}+54\delta^{3}+\cdots\\ net=V_{C}-V_{D}&=(-9)+18\delta+(-9)\delta^{2}+18\delta^{3}+\cdots\\ \end{split}\]

    • 모든 경기자가 \(9+(-18)\delta>0\), 순현재가치가 0보다 크면 배신, 즉 \(\delta<\dfrac{1}{2}\)이면 팃포탯(tit-for-tat) 전략으로 대응하지 않는다.

    • 모든 경기자가 \(9+(-18)\delta\le 0\), 순현재가치가 0보다 작으면 협조, 즉 \(\delta\ge\dfrac{1}{2}\)이면 팃포탯(tit-for-tat) 전략으로 대응하므로 팃포탯(tit-for-tat)은 균형전략이다.

가격 카르텔

  • 핵심만 쏙쏙!

    • 다음 문제에 답을 할 수 있다.

      • 현실 세계의 전략적 상황 \(\rightarrow\) 반복적 상호작용 \(\rightarrow\) 반복게임

      • 합리적 경기자들은 반복되는 상황에서 어떤 전략을 선택하는가?

      • 반복되는 가격 경쟁 시 각 기업들은 어떤 선택을 하는가?

    • 다음 문제를 생각하자.

      • 시장수요와 각 기업의 한계비용이 주어지면 각 기업의 전략을 파악해야 한다.

      • 담합의 이득은 무엇이며, 배신으로 말미암아 어떤 이득과 손실이 발생하지 파악할 수 있다.

가격 카르텔

  • 가격 담합

  • 담합의 협조와 배신에 따른 보수

  • 죄인의 딜레마

    • Temptation

    • Reward

    • Punishment

    • Sucker

    예시표

Bertrand 모형

  • 각 기업의 수요함수
\[Q_{i}=20-P_{i}+\frac{2}{3}P_{j}\]

  • 기업 1의 가걱 \(P_{1}\), 기업 2의 가격 \(P_{2}\)

  • 각 기업의 고정비용과 한계비용은 모두 0

  • 각 기업의 이윤 구조

\[\pi_{i}(P_{i},~P_{j})=(P_{i}-0)(20-P_{i}+\frac{2}{3}P_{j})\]

  • 각 기업의 이윤극대화 조건

    • 1계조건과 2계조건 \((F.O.C)~~~~\frac{\partial \pi_{i}}{\partial P_{i}}=0~~~~~~~ (S.O.C)~~~~\frac{\partial^{2} \pi_{i}}{\partial P_{i}^{2}}<0\)

  • Bertrand 모형 이윤극대화 조건

    • 1계조건과 2계조건
    \[\begin{split} (F.O.C)~~~~\frac{\partial \pi_{i}}{\partial P_{i}}&=20-2P_{i}+\frac{2}{3}P_{j}=0\\ P_{i}&=\frac{20+\frac{2}{3}P_{j}}{2}\\ P_{i}&=15~~~~~for~i=1,~2\\ (S.O.C)~~~~\frac{\partial^{2} \pi_{i}}{\partial P_{i}^{2}}&<0\\ \end{split}\]

  • 시장균형가격 \(\rightarrow\) \(P=20\)

  • 각 기업의 이윤 \(\rightarrow\) \(\pi_{i}^{P}=225\) \(\because P_{i}Q_{i}=15\times15=225\)

\[T>R>{\color{blue}Punishment}>S\]

담합의 유인

  • 독점의 이윤 구조
\[\begin{split} \pi_{all}(Q_{i},~Q_{j})&=(52-4Q_{i}-4Q_{j})(Q_{i}+Q_{j})\\ \pi(P_{1},~P_{2})&=P_{1}(20-P_{1}+\frac{2}{3}P_{2})+P_{2}(20-P_{2}+\frac{2}{3}P_{1}) \end{split}\]

  • 이윤극대화 조건

    • 1계조건과 2계조건
    \[\begin{split} (F.O.C)~~~~\frac{\partial \pi}{\partial P_{1}}&=20-2P_{1}+\frac{4}{3}P_{2}=0~~~~~ and~~~~~\frac{\partial \pi}{\partial P_{2}}=20-2P_{2}+\frac{4}{3}P_{1}=0\\ P_{1}=P_{2}&=30~~~~~Q_{1}=10,~~Q_{2}=10\\ (S.O.C)~~~~\pi_{11}&<0,~~\pi_{22}<0,~~\pi_{11}\pi_{22}-\pi_{12}^{2}>0 \end{split}\]

  • 각 기업의 이윤 \(\rightarrow\) \(\pi_{i}^{R}=300\)

\[T>{\color{blue}Reward}>P>S\]

담합의 배신 유인

  • Bertrand 모형 1계조건

    \[\begin{split} (F.O.C)~~~~P_{i}&=\frac{20+\frac{2}{3}P_{j}}{2}\\ \end{split}\]

  • 상대방이 협조 \(P_{j}=30\)이라면 자신은 \(P_{i}=20\)

  • 배신 기업의 이윤 \(\rightarrow\) \(\pi_{i}^{T}=400$\)\because Q_{i}=20-P_{i}+\frac{2}{3}P_{j}=20$$

\[{\color{blue}Temptation}>R>P>S\]
  • 배신당한 기업의 이윤 \(\rightarrow\) \(\pi_{j}^{S}=100\) \(\because Q_{j}=20-P_{j}+\frac{2}{3}P_{i}=\frac{10}{3}\)
\[T>R>P>{\color{blue}Sucker}\]

응용해 봅시다.

  • 각 기업의 전략적 상황

예시표

예시표

\[T(400)>R(300)>P(225)>S(100)\]

  • 균형

    • 1회 게임 균형 (배신, 배신)

    • 한반복게임 균형 (배신, 배신)

  • 신사전략(nice)

    • 경기자 2의 신사전략을 가정

    • 경기자 1이 신사전략을 고수

    \[\begin{split} V&=300+300\delta+300\delta^{2}+\cdots=\frac{300}{1-\delta}\\ v&=(1-\delta)V=300\\ \end{split}\]
    • 경기자 1이 깡패전략으로 변경
    \[\begin{split} V&=400+400\delta+400\delta^{2}+\cdots=\frac{400}{1-\delta}\\ v&=(1-\delta)V=400\\ \end{split}\]

    예시표

    • 신사전략에서 깡패전략으로 바꿀 유인이 있기에 (신사전략, 신사전략)은 내쉬균형이 아니다.

  • 깡패전략(nasty)

    • 경기자 2의 깡패전략을 가정

    • 경기자 1이 깡패전략을 고수

    \[\begin{split} V&=225+225\delta+225\delta^{2}+\cdots=\frac{225}{1-\delta}\\ v&=(1-\delta)V=225\\ \end{split}\]
    • 경기자 1이 신사전략으로 변경
    \[\begin{split} V&=100+100\delta+100\delta^{2}+\cdots=\frac{100}{1-\delta}\\ v&=(1-\delta)V=100\\ \end{split}\]

    예시표

    • 깡패전략에서 신사전략으로 바꿀 유인이 없기에 (깡패전략, 깡패전략)은 내쉬균형이다.

  • 무자비전략(grim)

    • 경기자 2의 무자비전략을 가정

    • 경기자 2는 1기에 \(C\)를 선택하고 있다고 가정

    • 경기자 1이 \(C\)를 선택

    \[\begin{split} V&=300+300\delta+300\delta^{2}+\cdots=\frac{300}{1-\delta}\\ v_{C}&=(1-\delta)V=300\\ \end{split}\]
    • 경기자 1이 \(D\)를 선택
    \[\begin{split} V&=400+225\delta+225\delta^{2}+\cdots=400+\delta\frac{225}{1-\delta}\\ v_{D}&=(1-\delta)V=(1-\delta)(400)+\delta(225)\\ \end{split}\]

    예시표

    • 모든 경기자에 대해 \(v_{C}\ge v_{D}~\rightarrow~\delta\ge \dfrac{4}{7}\)일 때, (무자비전략, 무자비전략)은 내쉬균형이다.

  • 팃포탯(tit-for-tat) 전략

    • 경기자 2의 팃포탯(tit-for-tat) 전략을 가정

    • 경기자 2는 1기에 \(C\)를 선택하고 있다고 가정

    • 경기자 1이 \(C\)를 선택

    \[\begin{split} V&=300+300\delta+300\delta^{2}+\cdots=\frac{300}{1-\delta}\\ v_{C}&=(1-\delta)V=300\\ \end{split}\]
    • 경기자 1이 \(D\)를 선택
    \[\begin{split} V&=400+100\delta+400\delta^{2}+100\delta^{3}+\cdots=\frac{400}{1-\delta^{2}}+\delta\frac{100}{1-\delta^{2}}\\ v_{D}&=(1-\delta)V=\frac{400}{1+\delta}+\delta\frac{100}{1+\delta}\\ \end{split}\]

    예시표

    • 경기자 1이 \(D\)를 선택할 때의 순이득
    \[\begin{split} V_{C}&=300+300\delta+300\delta^{2}+300\delta^{3}+\cdots\\ V_{D}&=400+100\delta+400\delta^{2}+100\delta^{3}+\cdots\\ net=V_{D}-V_{C}&=100+(-200)\delta+100\delta^{2}+(-200)\delta^{3}+\cdots\\ \end{split}\]

    • 모든 경기자가 \(100+(-200)\delta>0\), 순현재가치가 0보다 크면 배신, 즉 \(\delta<\dfrac{1}{2}\)이면 팃포탯(tit-for-tat) 전략으로 대응하지 않는다.

    • 모든 경기자가 \(100+(-200)\delta\le 0\), 순현재가치가 0보다 작으면 협조, 즉 \(\delta\ge\dfrac{1}{2}\)이면 팃포탯(tit-for-tat) 전략으로 대응하므로 팃포탯(tit-for-tat)은 균형전략이다.

효율성임금

  • 핵심만 쏙쏙!

    • 다음 문제에 답을 할 수 있다.

      • 현실 세계의 전략적 상황 \(\rightarrow\) 반복적 상호작용 \(\rightarrow\) 반복게임

      • 합리적 경기자들은 반복되는 상황에서 어떤 전략을 선택하는가?

      • 반복되는 임금협상 시 고용주는 어떤 임금을 제시하는가?

      • 근로자는 노력의 유인이 있는가?

    • 다음 문제를 생각하자.

      • 고용주는 근로자들의 노력을 유인하기 위한 추가 지급 금액을 모색해야 한다.

      • 근로자가 수령하는 추가 지급 금액은 태업, 이직 등의 기회비용이다.

효율성임금과 역선택

  • 효율성임금(efficiency wage)

    • (노동이직모형) 높은 실질임금이 이직률을 낮춘다.

    • (태업방지모형) 높은 임금을 지급할수록 노동자의 태업의 기회비용은 커진다.

    • (역선택모형) 효율성임금이 노동의 평균적인 질을 향상 시킨다.

  • 역선택(adverse selection)

    • 필요한 정보가 충분하지 않은 시장에서 나쁜 품질의 상품이 많아지고, 좋은 품질의 상품이 사라지는 문제

    • 노동시장에서 노동수용자인 기업은 노동공급자의 정확한 생산성에 대한 파악이 불가능

    • 노동공급자인 가계는 자신의 생산성 파악 가능

    • 노동수요자인 기업이 평균적인 임금을 제시하면, 생산성이 낮은 노동공급자들과 거래

    • 기업은 노동자의 유보임금보다 높은 임금으로 역선택 방지

응용해 봅시다.

  • 무한반복게임

    • \(t\)기

      • 고용주는 근로자에게 \(w^{*}\)의 임금 제안

    • \(t+1\)기

      • (정상국면) 만일 전기 \(t\)기에 고수입(\(y\))이 실현되었다면, 이번 기 \(t\)기에도 \(w^{*}\)의 임금 제안

      • (보복국면) 만일 전기 \(t\)기에 저수입이 실현되었다면, 근로자를 해고하고 다시는 재고용하지 않는다.

  • 근로자의 보수

    • 근로자의 순임금 \(w-c\), 임금 \(w\), 노력비용 \(c\)

    • 근면하게 일하는 노동자의 평균할인보수

    \[v_{\text{근면}}=(1-\delta)(w^{*}-c)+\delta(w^{*}-c)=w^{*}-c\]
    • 노동자가 태업을 하면 \((1-\beta)\) 확률로 해고 당하고 타직장에서 계속 임금 \(w_{0}\) 수령
    \[\begin{split} v_{\text{태업}}&=(1-\delta)w^{*}+\delta\{\beta v_{\text{태업}}+(1-\beta)w_{0}\}\\ v_{\text{태업}}&=\frac{(1-\delta)w^{*}+\delta(1-\beta)w_{0}}{1-\delta\beta} \end{split}\]
    • 근로자가 노력하여 일하려는 유인
    \[\begin{split} v_{\text{근면}}&\ge v_{\text{태업}}\\ w^{*}-c&\ge\frac{(1-\delta)w^{*}+\delta(1-\beta)w_{0}}{1-\delta\beta}\\ w^{*}&\ge w_{0}+\frac{1-\delta \beta}{\delta(1-\beta)}c \end{split}\]

  • 무한반복게임의 유일한 하위게임완전균형

    • (고용주의 전략) \(w^{*}= w_{0}+\frac{1-\delta \beta}{\delta(1-\beta)}c\) 제안

    • (근로자의 전략) \(w^{*}\) 수락 후 노력

    • (고용주의 보수) \(y-w^{*}\)

    • (근로자의 보수) \(w^{*}-c\)

  • 효율성임금(efficiency wage)

    • 효율성임금 \(w^{*}\)은 유보임금 \(w_{0}\)보다 크다.
    \[w^{*}- w_{0}\ge\frac{1-\delta \beta}{\delta(1-\beta)}c\]

  • 임금프리미엄(wage premium)

    • 현직장에 고용된 근로자가 노력하려는 유인을 주기 위하여 필요한 최소한의 추가 지급액
    \[\frac{1-\delta \beta}{\delta(1-\beta)}c\]

    • 근로자의 할인인자 \(\delta\)가 낮을수록 임금프리미엄은 높아진다.

    • 근무태만이 적발되지 않을 확률 \(\beta\)가 클수록 임금프리미엄은 높아진다.

    • 노력비용 \(c\)가 클수록 임금프리미엄은 높아진다.

정리하기

  • 담합이 영원할 수 있는 전략은 지금 당장의 보수보다 미래의 보수를 높게 평가하는 것이다.

  • 지속적인 근로자들의 노력을 유인하기 위해서는 지금의 태만보다 미래의 순임금을 높게 평가하도록 하는 것이다.