베이지언 게임

모든 경기자가 동일한 정보를 갖고 있는가? 아니면 정보의 차이가 있는가?
불완전한 정보의 상황을 묘사한 베이지안 게임에서, 경기자의 전략과 균형은 무엇일까?
공공재의 무임승차문제는 왜 발생하는가?
과연 보다 많은 정보와 정확한 정보가 있다고 자신에게 이득을 보장하는가?

베이지언 게임 개념

핵심만 쏙쏙!
- 다음 문제에 답을 할 수 있다.
  - 완전정보와 불완전정보를 구분할 수 있는가?
  - 완비정보와 불완비정보를 구분할 수 있는가?
  - 특히 불완비정보게임의 균형을 구할 수 있는가?
- 다음 문제를 생각하자.
  - 상대방은 나의 type을 어떻게 생각하고 있는지 고려하자.
  - 어떤 경기자는 다른 경기자가 알지 못하는 정보를 가지고 있다.
  - 사적정보가 있을 때 각 경기자는 어떤 결정을 하는지 살펴보자.

정보

완전한 정보(perfect information)
- 하나의 정보신호가 주어지면 어떤 불확실한 상태가 발생할지 확실하게 알 수 있는 정보
불완전한 정보(imperfect information)
- 하나의 정보신호가 여러 개의 불확실한 상태와 관련되어 있기에 그 가운데 어떤 불확실한 상태가 실현될지 더 이상 알 수 없는 정보
정보의 구분
- 대칭정보(symmetric information)
  - 모든 경제주체들이 완전한 정보를 보유하고 있는 정보적 상황
- 비대칭정보(asymmetric information)
  - 일부 경제주체는 완전한 정보를 보유하고, 나머지는 아무런 정보가 없는 상황
비대칭정보 발생 원인
- 감춰진 속성(hidden type)
- 감춰진 행동(hidden effort)
감춰진 속성(hidden type)
- 거래의 한쪽이 상대방의 유형에 대해 잘 모르는 경우
- 보험의 경우 (사고 확률, 특정 질환등을 앓고 있는 여부), 고용 시장의 경우(업무 능력, 생산성), 중고차 시장(침수차량 여부)
감춰진 행동(hidden effort)
- 계약체결 후 상대방의 행동을 완벽히 감시할 수 없는 상황
- 권한을 위임하는 주인(principal)과 위임받은 대리인(agent)
- 전문경영자는 주주가치의 극대화를 위해 최선을 다한다는 약속
- 계약 후 전문경영인은 주주의 이익보다는 자신의 이익을 우선시 하나 이를 주주가 관찰하기 어려움.
상대방 유형의 인지
- 완비정보게임(complete information)
- 불완비정보게임(incomplete information) 또는 미비게임

베이지안 게임

베이지안 게임(Bayesian games)
- 한 경기자가 다른 경기자가 가지지 못한 정보를 가지는 경우를 베이지안 게임 또는 불완비정보게임
- 서로 다른 정보, 예) 성대결 게임, 과점시장(상이한 한계비용)
- 한 경기자가 다른 경기자가 가지지 못한 사적정보(private information)
여자가 남자를 좋아하는 경우
- 순수전략 내쉬균형 (야구, 야구), (발레, 발레)
- 순수혼합전략 내쉬균형 (2/3 야구 + 1/3 발레, 1/3 야구 + 2/3 발레)
여자가 남자를 싫어하는 경우
- 순수전략 내쉬균형 존재하지 않는다.
- 순수혼합전략 내쉬균형 (1/3 야구 + 2/3 발레, 1/3 야구 + 2/3 발레)

응용해 봅시다.

여자는 남자가 알지 못하는 사적정보 보유
사적정보의 내용을 여자의 ‘type’라 하며, \(L(ove)\)-type과 \(H(ate)\)-type, 각각의 확률 \(\dfrac{1}{2}\)
- 여자의 전략 \(\{L,H\}\)에서 \(\{\text{야구},\text{발레} \}\)로 가는 함수
  \[S_{2}=\{(\text{야구},\text{야구}),(\text{야구},\text{발레}),(\text{발레},\text{야구}),(\text{발레},\text{발레}) \}\] \[S_{1}=\{\text{야구},\text{발레} \}\]
기대보수

예시표

남자의 대응
- \(\text{(야구,야구)}\) \(\rightarrow ~\text{야구}\)
- \(\text{(야구, 발레)}\) \(\rightarrow ~\text{야구}\)
- \(\text{(발레, 야구)}\) \(\rightarrow ~\text{야구}\)
- \(\text{(발레,발레)}\) \(\rightarrow ~\text{발레}\)
여자의 대응
- \(\text{야구}\) \(\rightarrow ~\text{(야구,발레)}\)
- \(\text{발레}\) \(\rightarrow ~\text{(발레,야구)}\)
베이지안 순수전략 내쉬균형 \(\text{(야구, (야구,발레))}\)

예시표

공공재 공급

핵심만 쏙쏙!
- 다음 문제에 답을 할 수 있다.
  - 공공재는 어떤 속성을 가지고 있는가?
  - 무임승차는 왜 발생하는가?
- 다음 문제를 생각하자.
  - 친구와 공동으로 사용하려는 TV에 얼마까지 지불할 의사가 있는가?
  - TV가 구비되었을 때 TV가 없을 때보다 과연 순가치가 증가하는가?
  - 친구는 얼마까지 지불한다고 생각하는가?
  - 친구 덕분에 TV를 공짜로 시청하고자 하는가?

재화의 구분

비배제성(non-exclusiveness)
- 어느 누구도 편익으로부터 배제되지 않는 재화
- 공공재 추가적인 이용으로 한계비용이 발생하지 않으므로 양의 가격을 책정하여 이용자를 배제하는 것은 불가능
비경합성(non-rivalry)
- 어떤 사람의 추가적인 소비가 타인의 소비를 감소시키지 않으므로 양의 가격을 책정하는 것은 바람직하지 못하다.
재화의 구분

예시표

공공재

공공재의 구분
- 순수공공재(pure public goods)
  - 비배제성과 비경합성의 특성을 모두 지니고 있는 재화
- 비순수공공재(impure public goods)
  - 공공재 특성 중 하나만 가지고 있는 재화}
- 클럽재(club goods)
  - 소비자(이용자)가 많아질수록 정체비용으로 인해 이용자들의 편익 감소
공공재 공급주체
- 공공재의 공급주체는 정부 또는 민간기업으로 공급주체와는 무관
- 사적재도 정부가 공급 가능, 자연독점인 경우에 공적으로 공급
- 공공재, 사적재의 구분은 상품의 특성에 따른 구분
공공재 공급측면
- 개별 수요자들의 공공재 편익 파악 불가 \(\rightarrow\) 무임승차(free-riding)
- 공공재 소비의 비배제성으로 인하여 공공재에 지불하지 않았다고 하여 소비자 배제 불가능
- 공공재 건설에 소비자들은 비용을 지불하지 않고 건설된 공공재를 사용하려는 유인
- 합리적 소비자는 무임승차 유인이 있기에 시장기구에서는 사회적 최적수준보다 과소생산
무임승차 문제를 게임이론에 적용
- 소비자 1과 소비자 2
- 공공재 생산에 기여(contribution)할지 말지를 고민
- 개별소비자의 행동집합 \(A_{1}=A_{2}=\{\text{기여},~\text{무임승차}\}\)
공통지식
- 소비자 \(i\)의 기여비용 \(c_{i}\)은 각각 \(-\beta\)와 \(1+\alpha\) 사이의 균등분포
- 형집합 \(T_{1}=T_{2}=[-\beta,~1+\alpha]\)

응용해 봅시다.

공공재건설게임
- 공공재 이용으로 얻을 수 있는 가치는 모두에게 1
- 기여에 따라 보수 결정 \(1-c_{i}\), \(1\), \(0\)
- 전략형게임
- 개별경기자의 최적전략
  - 경기자 \(i\)의 기부비용 \(c_{i}< 0\)이면 무조건 기부 (무임승차는 강열등전략이기에)
  - 경기자 \(i\)의 기부비용 \(0\le c_{i}\le 1\)이면 상대방의 기부가능성이냐? 확실한 \(1-c_{i}\)이냐?
  - 기여비용이 미비하면 기여를 통해 확실한 \(1-c_{i}\)를 추구
  - 기여비용이 1보다 약간 작다면 무임승차하고 상대방의 기부가능성을 기대
  - 경기자 \(i\)의 기부비용 \(c_{i}> 1\)이면 모조건 무임승차 (기부는 강열등전략이기에)
- 임계전환성(cutoff property)
  - 소비자 1
    - \(c_{1}\)이 임계치 \(c_{1}^{*}\)보다 작으면 기여
    - \(c_{1}\)이 임계치 \(c_{1}^{*}\)보다 크면 무임승차 시도
  - 소비자 2
    - \(c_{2}\)이 임계치 \(c_{2}^{*}\)보다 작으면 기여
    - \(c_{2}\)이 임계치 \(c_{2}^{*}\)보다 크면 무임승차 시도
- 임계치 구하기
  - 소비자 1은 자신의 유형 \(c_{1}\)을 아는 상태에서 기여와 무임승차 중 선택
  - 소비자 1이 기여할 때 얻는 기대보수
  \[E_{1}^{\text{기여}}=1-c_{1}\]
  - 무임승차를 시도할 때 얻는 기대보수
  \[\text{(경기자 2가 기여할 확률)}\times 1+\text{(경기자 2가 무임승차할 확률)}\times 0=E_{1}^{\text{무임승차}}(c_{2} < c_{2}^{*})\]
- 소비자 1의 입장에서 생각하자.
  - 소비자 2의 유형 \(c_{2}\)는 균등분포를 따르는 확률변수
  \[[-\beta,~1+\alpha]~~~~~~~(\alpha,~\beta >0)\]
  - 확률밀도함수
  \[f(c_{2})=\frac{1}{1+\alpha+\beta}\]
  - \(c_{2}\le c_{2}^{*}\)인 누적확률
  \[\frac{c_{2}^{*}+\beta}{1+\alpha+\beta}\]
  - 소비자 1이 무임승차를 시도할 때 얻는 기대보수
  \[E_{1}^{\text{무임승차}}(c_{2} < c_{2}^{*})=\frac{c_{2}^{*}+\beta}{1+\alpha+\beta}\]
  - \(E_{1}^{\text{기여}}>E_{1}^{\text{무임승차}}\) \(\rightarrow\) 기여
  \[1-c_{1}>\frac{c_{2}^{*}+\beta}{1+\alpha+\beta}~~~~\text{또는}~~~~ c_{1}<\frac{1+\alpha-c_{2}^{*}}{1+\alpha+\beta}~~~~~~~~\rightarrow~~~~\text{기여}\]
  - \(E_{1}^{\text{기여}}<E_{1}^{\text{무임승차}}\) \(\rightarrow\) 무임승차 시도
  \[1-c_{1}<\frac{c_{2}^{*}+\beta}{1+\alpha+\beta}~~~~\text{또는}~~~~ c_{1}>\frac{1+\alpha-c_{2}^{*}}{1+\alpha+\beta}~~~~~~~~\rightarrow~~~~\text{무임승차 시도}\]
  - 소비자 1의 전략이 임계전환성을 갖기 위한 조건
  \[c_{1}^{*}=\frac{1+\alpha-c_{2}^{*}}{1+\alpha+\beta}\]
- 소비자 2의 입장에서도 동일하게 적용
- 소비자 1과 소비자 2의 입장에서 동시 고려
  - 임계전환성
  \[c_{i}^{*}=\frac{1+\alpha-c_{j}^{*}}{1+\alpha+\beta}\]
  - 대칭 논리
  \[c_{1}^{*}=c_{2}^{*}=\frac{1+\alpha}{2+\alpha+\beta}\]
- 개별소비자
  - 자신의 기여비용이 임계치 이하이면 기여
  - 자신의 기여비용이 임계치를 초과하면 무임승차 시도
- 베이지언 내쉬균형
  - \(\alpha,~\beta >0\) 조건에서는 유일한 순수전략 균형

정보의 가치

핵심만 쏙쏙!
- 다음 문제에 답을 할 수 있다.
  - 정보가 충분하다고 더 좋은 이득을 얻을 수 있는가?
  - 정보가 부족하다고 이득이 감소하는가?
- 다음 문제를 생각하자.
  - 아는 게 병? 모르는 게 약?
  - 연구개발에 성공한 것을 다른 기업에게 공표하는 것이 반드시 이익이 되는지 살펴보자.
  - 연구개발에 실패했다고 자인하는 것으로 반드시 이익이 감소하는지 살펴보자.

산출량 경쟁

기업 1과 기업 2의 산출량 경쟁
역수요함수와 비용

\[P(Q)=a-bQ, ~~~~MC_{1}=c_{1},~~MC_{2}=c_{2},~~FC_{1}=FC_{2}=0\]

한계비용의 사적정보
- 기업 2의 한계비용 \(c_{2}\) : 두 기업 사이의 공통지식
\[p_{1}(c_{2}\vert c_{L})=p_{1}(c_{2}\vert c_{H})=1\]
- 기업 1의 한계비용 : 기업 1의 연구개발에 의해 기업1은 자신의 한계비용을 정확히 알고 있지만 기업2는 기업 1의 한계비용을 정확히 알고 있지 못하다.
조건부 확률
- 기업 1의 연구개발 성공 확률로 한계비용 \(c_{L}\)의 확률 \(\alpha\) \(\rightarrow\) 즉, \(p_{2}(c_{L}\vert c_{2})=\alpha\)
- 기업 1의 연구개발 실패 확률로 한계비용 \(c_{H}\)의 확률 \(1-\alpha\) \(\rightarrow\) 즉, \(p_{2}(c_{H}\vert c_{2})=1-\alpha\)
각 기업의 전략
- 기업1의 전략 : \(s_{1}:\{c_{L},c_{H}\}\rightarrow [0,\infty)\), \(s_{1}=(q_{L},q_{H})\)
- 기업2의 전략 : \(s_{2}:q_{2}\in [0,\infty)\)
각 기업의 이윤함수
- 기업 1의 연구개발 성공 시 이윤
\[\pi_{L}(s_{1},q_{2})=(a-bq_{L}-bq_{2})q_{L}-c_{L}q_{L}=(a-c_{L}-bq_{L}-bq_{2})q_{L}\]
- 기업 1의 연구개발 실패 시 이윤
\[\pi_{H}(s_{1},q_{2})=(a-bq_{H}-bq_{2})q_{H}-c_{H}q_{H}=(a-c_{H}-bq_{H}-bq_{2})q_{H}\]
- 기업 2의 기대이윤
\[\pi_{2}(s_{1},q_{2})=\alpha(a-c_{2}-bq_{L}-bq_{2})q_{2}+(1-\alpha)(a-c_{2}-bq_{H}-bq_{2})q_{2}\]
최적대응
- 기업 1의 연구개발 성공시 최적대응 산출량
\[\frac{\partial \pi_{L}(s_{1},q_{2})}{\partial q_{L}}=0~~~\rightarrow~~~~q_{L}=\frac{a-c_{L}-bq_{2}}{2b}\]
- 기업 1의 연구개발 실패시 최적대응 산출량 \(\frac{\partial \pi_{H}(s_{1},q_{2})}{\partial q_{H}}=0~~~\rightarrow~~~~q_{H}=\frac{a-c_{H}-bq_{2}}{2b}\)
- 기업 2의 최적대응 산출량
\[\frac{\partial \pi_{2}(s_{1},q_{2})}{\partial q_{2}}=0~~~\rightarrow~~~~q_{2}=\frac{a-c_{2}-b(\alpha q_{L}+(1-\alpha) q_{H})}{2b}\]
위 세 조건을 연립하여 풀어보자.
유일한 베이지안 내쉬균형
- 기업 1의 연구개발 성공시 최적 산출량 \(q_{L}^{*}=\frac{a-2c_{L}+c_{2}}{3b}-\frac{(1-\alpha)(c_{H}-c_{L})}{6b}\)
- 기업 1의 연구개발 실패시 최적 산출량
\[q_{H}^{*}=\frac{a-2c_{H}+c_{2}}{3b}+\frac{\alpha(c_{H}-c_{L})}{6b}\]
- 기업 2의 최적 산출량
\[q_{2}^{*}=\frac{a-2c_{2}+\alpha c_{L}+(1-\alpha )c_{H}}{3b}\]
- 경쟁기업이 산출량을 늘리면 자신의 산출량은 줄여야 한다.
- 기업2의 산출량은 자신의 한계비용에는 감소함수, 기업1의 한계비용에는 증가함수이다.
- \(q_{2}^{*}\)\는 \(c_{1}=c_{L}\)일 경우보다는 크고, \(c_{1}=c_{H}\)일 경우보다는 작다.
함의

예시표

기업 1의 한계비용

\[c_{L}<\alpha c_{L}+(1-\alpha )c_{H}<c_{H}\]

경쟁기업이 산출량을 늘리면 자신의 산출량은 줄여야 한다.
기업1의 입장에서
- 성공시 기업2가 더 생산하게 되므로 기업1의 산출량은 완비정보 하보다 적게 생산
- 실패시 기업2가 덜 생산하므로 완비정보 하보다 많이 생산
기업 1은 연구개발 실패의 존재 가능성 때문에 연구개발 성공 시 완비정보 하에서보다 손해
기업 1은 연구개발 성공의 존재 가능성 때문에 연구개발 실패 시 완비정보 하에서보다 이득
정확하고 많은 정보가 더 큰 이익을 주는가? 전략적 상호작용의 게임에서는 그렇지 않다.
단기적 추가정보로 오히려 해악 가능성

응용해 봅시다.

기업 1과 기업 2의 산출량 경쟁
역수요함수와 비용

\[P(Q)=16-\frac{1}{3}Q=16-\frac{1}{3}Q_{1}-\frac{1}{3}Q_{2}, ~~~~~~FC_{1}=FC_{2}=0\]

한계비용의 사적정보
- 기업 2의 한계비용 \(c_{2}=4\) : 두 기업 사이의 공통지식
- 기업 1의 한계비용 : 기업 1의 연구개발에 의해 기업1은 자신의 한계비용을 정확히 알고 있지만 기업2는 기업 1의 한계비용을 정확히 알고 있지 못하다.
확률
- 기업 1의 연구개발 성공 확률로 한계비용 \(c_{L}=0\)의 확률 \(p\)
- 기업 1의 연구개발 실패 확률로 한계비용 \(c_{H}=4\)의 확률 \(1-p\)
기업 1과 기업 2의 산출량 경쟁
- 기업 1이 확실히 성공하더라도 성공확률변수 \(0< p<1\)로 산출량 감소 \(18+2p<20\)
- 기업 1이 확실히 실패하더라도 성공확률변수 \(0< p<1\)로 산출량 증가 \(12<18+2p\)
성공시는 자신이 성공했다는 것을 공표하더라도 상대방은 위협으로 생각하지 않는다.
실패시는 자신이 실패했다는 것을 공표하더라도 상대방은 위협으로 생각한다.

정리하기

불완비정보가 존재하는 게임의 균형을 찾을 수 있다.
상대방의 type에 따라 전략을 고려한다.
조건부 확률을 적용하여 기대보수를 구할 수 있다.
정보가 많다고 반드시 이득이 되지 않으며, 정보가 부족하다고 반드시 손실이 초래되는 것은 아니다.