협상과 중재, 메커니즘 디자인
학습한 게임이론으로 협상과 중재라는 사회현상을 이해할 수 있는가?
협상과 중재의 균형은 무엇인가?
의도하는 결과를 얻기 위해 게임을 구성할 수 있는가?
협상
핵심만 쏙쏙!
다음 문제에 답을 할 수 있다.
협상이라는 사회현상을 전개형게임으로 설명할 수 있는가?
다단계 협상의 하위게임완전균형은 무엇인가?
다음 문제를 생각하자.
최후 통첩협상 게임은 유일한 부분게임 완전균형을 갖는다.
협상의 단계가 많아지는 경우, 각 경기자의 보수는 할인인자 \(\delta\)에 의해 결정된다.
협상(bargaining)
노사관계, 국제무역, 외교 등의 전략적 문제
동태적 과정 \(\rightarrow\) 전개형게임과 하위게임완전균형
협상의 방식
시한부 유한수명협상
최후통첩협상
2단계 협상
3단계 협상
일반적인 T단계 협상
시한 미정인 협상
최후통첩협상
최후통첩협상(ultimatum bargaining)
경기자 1의 제안 \(\rightarrow\) \(x\)는 대상물의 비율
경기자 2의 수락 \((x,~1-x)\)
경기자 2의 거부 \((0, ~0)\)
한 기간 내에 협상 종결
무수히 많은 순수전략 내쉬균형
유일한 하위게임 완전균형
최후통첩협상(ultimatum bargaining) (내쉬균형)
경기자 1과 2의 전략의 예시 \(\rightarrow\) 경기자 1과 2는 1/2로 나누는 내쉬균형(1) 존재
(경기자 1의 전략) 1/2 씩 나눌 것을 제안
(경기자 2의 전략) 1/2 이상을 제안받으면 수락, 1/2 미만이면 거절
경기자 1과 2의 전략의 예시 \(\rightarrow\) 경기자 1과 2는 0.6:0.4로 나누는 내쉬균형(2) 존재
(경기자 1의 전략) 6/10과 4/10 씩 나눌 것을 제안
(경기자 2의 전략) 4/10 이상을 제안받으면 수락, 4/10 미만이면 거절
최후통첩협상(ultimatum bargaining) (하위게임완전균형)
경기자 2의 선택
경기자 1의 제안을 수락하면 \((1-x)\)
경기자 2의 제안을 거절하면 \(0\)
경기자 1은 경기자 2에게 0에 가까운 제안
유일한 하위게임완전균형
- 경기자 1은 1, 경기자 2는 0
2단계 협상
2단계 협상 (교대제안협상)
(Stage 1) 경기자 1의 제안 \((x_{1},~1-x_{1})\)
경기자 2가 수락하면 \((x_{1},~1-x_{1})\)
경기자 2가 거부하면 (Stage 2)로 진행
(Stage 2) 경기자 2의 제안 \((x_{2},~1-x_{2})\)
경기자 1이 수락하면 \(\left(\delta x_{2},\phantom{^{2}}\delta(1-x_{2})\right)\)
할인인자 \(0\le\delta\le1\)
경기자 1이 거부하면 \((0,~0)\) 게임 종료
무수히 많은 내쉬균형
- 최후통첩게임과 유사
유일한 하위게임완전균형
(Stage 2) 유일한 부분게임 완전균형 \((x_{2}=0, ~(1-x_{2})=1)\) 즉, \((0, ~\delta)\)
첫 단계에서 경기자 1은 \((1-\delta,~\delta)\)로 나누자고 제안
경기자 2는 \((1-\delta,~\delta)\) 즉시 수락
3단계 협상
3단계 협상 (교대제안협상)
(Stage 1) 경기자 1의 제안 \((x_{1},~1-x_{1})\)
경기자 2가 수락하면 \((x_{1},~1-x_{1})\)
경기자 2가 거부하면 (Stage 2)로 진행
(Stage 2) 경기자 2의 제안 \((x_{2},~1-x_{2})\)
경기자 1이 수락하면 \(\left(\delta x_{2},\phantom{^{2}}\delta(1-x_{2})\right)\)
경기자 1이 거부하면 (Stage 3)로 진행
(Stage 3) 경기자 1의 제안 \((x_{3},~1-x_{3})\)
경기자 2가 수락하면 \(\left(\delta^{2}x_{1},~\delta^{2}(1-x_{1})\right)\)
경기자 2가 거부하면 \((0,~0)\) 게임 종료
무수히 많은 내쉬균형
- 최후통첩계임과 유사
유일한 하위게임완전균형
(Stage 3) 유일한 부분게임 완전균형 \((x_{3}=1, ~(1-x_{3})=0)\) 즉, \((\delta^{2}, ~0)\)
(Stage 2) 경기자 1에게 \(\delta^{2}\)보다 적은 보수 제안하면 경기자 1은 거부
경기자 2는 경기자 1에게 \(x^{2}=\delta\)를 제안
따라서, 제안으로 보수는 \(\rightarrow\) \((\delta^{2},~\delta(1-\delta))\)
하위게임완전균형 보수 \((\delta^{2},~\delta(1-\delta))\)
(Stage 1) 경기자 1은 경기자 2에게 \(\delta(1-\delta)\)를 제시
유일한 하위게임완전균형 \((1-\delta(1-\delta),~\delta(1-\delta))\) 즉, \((1-\delta+\delta^{2},~\delta-\delta^{2})\)
따라서, Stage 1에서 경기자 1은 \(1-\delta+\delta^{2}\)을 갖고 경기자 2에게 \(\delta-\delta^{2}\)을 제시
경기자 2는 이를 즉시 수락
응용해 봅시다.
\(T\)단계 협상게임
할인인자 \(0\le\delta\le1\)
경기자 1의 보수
- 경기자 2의 보수
- 협상기한 \(T\)가 매우 큰 경우
- \(\delta\)가 0 또는 1인 경우, 강탈이냐? 아니면 1/2씩이냐?
중재
핵심만 쏙쏙!
다음 문제에 답을 할 수 있다.
중재라는 사회현상을 전략형 게임으로 설명할 수 있는가?
일반중재와 최종제안 중재에서 각각의 내쉬 균형은 무엇인가?
다음 문제를 생각하자.
일반중재에서 각 경기자는 자신이 원하는 바를 극단적으로 요구한다.
최종제안중재에서 각 경기자는 중재자의 선호를 고려하여 자신의 전략을 선택한다.
중재(arbitration)
이해당사자들의 첨예한 대립 \(\rightarrow\) 제삼자의 조정 역할
중개 (mediation)와의 차이 \(\rightarrow\) 중재자의 조정안 거부 가능성 \(\rightarrow\) 사전 계약에 의한 이행 강제
제삼자에 의한 최종적 조정 \(\rightarrow\) 전략형게임과 내쉬균형
일반중재(conventional arbitration)
당사자들이 각자의 안을 제출
중재자는 이를 취합
쌍방의 안을 종합하여 최종 중재
최종제안중재(final-offer arbitration)
- 각 이해당사자들이 제출한 대안 가운데 하나를 택하여 최종 중재
일반중재
일반중재(conventional arbitration)
경기자 \(i\)의 요구 \(x_{i}\) \((i=1,~2)\)
경기자 \(i\)의 제출안 \(s_{i}\) \((i=1,~2)\)
- (중재함수) 경기자 1과 경기자 2의 보수
초과요구총액 균등부담 조건
- 경기자 1과 경기자 2의 중재함수 \(E=x_{1}+x_{2}-1\) (공통지식)
- 초과요구액 \(E=x_{1}+x_{2}-1\)를 중재함수에 대입
경기자의 보수는 자신의 요구액에 정비례, 상대방의 요구액에 반비례
상대방의 요구액에 상관없이 가능한 최대액수를 요구
\(x_{i}^{*}=1\)은 경기자 \(i\)의 강우월전략
중재게임의 유일한 우월전략해는 \((1,~1)\)
중재자는 경기자 1과 경기자 2 각각 0.5씩 나누는 방안의 최종중재
현실 설명력
중재자가 제출된 양측의 요구를 절충하여 결정할 것으로 각 경기자의 기대 형성
협상당사자들은 극단적인 요구를 하여 자신의 이익을 최대로 확보
최종제안중재
최종제안중재(final-offer arbitration, Henry S. Farber (1980))
사용자의 임금안 \(w_{1}\)
노동조합의 임금안 \(w_{2}\)
의미있는 중재를 위하여 \(w_{2}>w_{1}\) 가정
정부의 중재
사용자의 임금안과 노동자의 임금안 중 하나를 택하여 최종안으로 결정
(정부) 사회적으로 가장 바람직한 임금수준 \(g\) 알고 있다고 가정
\(g<\dfrac{w_{1}+w_{2}}{2}\)이면, \(w_{1}\)을 최종중재안으로 선택 \(\rightarrow\) \(g\)가 \(w_{1}\)에 가까우면 사용자의 임금안으로 결정
\(g>\dfrac{w_{1}+w_{2}}{2}\)이면, \(w_{2}\)을 최종중재안으로 선택 \(\rightarrow\) \(g\)가 \(w_{2}\)에 가까우면 노동조합의 임금안으로 결정
매개변수 \(g\) \(\rightarrow\) (정부) 사회적으로 가장 바람직한 임금수준 \(g\)
사용자와 노조가 \(g\)를 정확히 알고 있다면 \(w_{1}=w_{2}=g\)를 제안
\(g\)를 정확히 모르지만 확률분포함수 \(f(g)\)는 주지의 사실 \(\rightarrow\) 누적확률분포함수 \(F(g)\)
사용자의 임금안이 채택되는 경우
- \(g\)가 \(w_{1}\)에 가까울 확률 \(\rightarrow\) 최종 임금 \(w_{1}\)
노동조합의 임금안이 채택되는 경우
- \(g\)가 \(w_{2}\)에 가까울 확률 \(\rightarrow\) 최종 임금 \(w_{2}\)
사용자의 기대임금지불액
사용자의 기대지불임금 극소화
- 기대임금지불액 \(PAY\)를 극소가 되도록 임금안 \(w_{1}\)을 제시
- 정리하면
노동조합의 기대보수
노동조합의 기대보수 극대화
- 기대보수 \(WAGE\)를 극대가 되도록 임금안 \(w_{2}\)을 제시
- 정리하면
사용자의 입장
- 노동조합의 입장
- 최적 대응 임금안의 조합 \((w_{1}^{*},~w_{2}^{*})\)의 조건
균형상태에서 사용자는 \(w_{1}^{*}\), 노동조합은 \(w_{2}^{*}\)를 제시
정부는 두 안 가운데 사회적으로 바람직하다고 생각되는 \(g\)에 가까운 임금안은 최종 결정
응용해 봅시다.
우리나라의 최저임금 결정
최저임금위원회 1987년부터 매년 최저임금을 결정하는 최고의사결정기구
사용자, 근로자, 공익대표을 대표하는 위원 각각 9인으로 구성
사용자와 근로자의 첨예한 대립으로 이미 9대 9
공익위원들의 역할 중요
메커니즘 디자인
핵심만 쏙쏙!
다음 문제에 답을 할 수 있다.
사회적으로 최적의 결과를 유도할 수 있는가?
주인은 대리인의 행동을 제어할 수 있는가?
게임이론을 이용하여 의도하는 결과를 얻을 수 있는가?
다음 문제를 생각하자.
메커니즘은 Allocation rule과 Transfer rule로 이루어져 있다.
메커니즘 디자이너는 직접보고메커니즘만을 고려하여, 자신이 원하는 수익의 극대화나 파레토 효율적인 결과를 실현시킬 수 있다.
게임이론 학습
‘주어진’ 다양한 게임의 균형 모색
(전략형게임) 내쉬균형
(전개형게임) 하위게임완전균형
(사적정보) 베이지안내쉬균형
전략적인 상황에서 합리적인 경기자들은 균형전략 실행
- 균형전략으로 실현되는 결과 존재
바람직하지 않은 게임의 결과 초래 가능
- 경기자들의 의지와 상관없이 자연스럽게 실현되었을지라도
사회적으로 바람직한 결과를 얻기 위해 게임을 어떻게 구성할까?
메커니즘 디자인(Mechanism Design)
주인(principal)과 대리인(agent)의 게임
주인은 정보비보유자(uninformed player}, 대리인은 정보보유자(informed player}
주인은 어떻게 해야 최선의 결과를 얻을 수 있을까?
‘주인, 즉 ‘메커니즘 디자이너’는 게임을 역설계
메커니즘 디자이너는 당연히 일정한 목적을 가지고 게임을 설계하게 됨.
Optimality 또는 Pareto Efficiency
만들어지는 게임은 베이지안 게임(Bayesian Game)
구성요소
경기자 \(\{1,2,3, \cdots, I \}\)
- 각각의 경기자 \(i\)는 사적정보, 즉 type \(\theta_{i} \in \Theta_{i}\) 보유
당연히 메커니즘 디자이너는 각 agent들의 type을 알지 못함.
Mechanism
메커니즘은 일종의 ‘Black box’
메커니즘은 두 개의 함수로 구성 \(\rightarrow\) 함수 \(a\)와 \(t\).
메커니즘 디자이너는 두개의 규칙(Rule}을 Agent들에게 알려줌.
- 자신에게 어떤 보고를 하는냐에 따라 실현될 물리적 결과와 금전의 양을 알려주는 것
메커니즘 디자이너가 설계한 메커니즘 \(\Gamma=(a,t)\)의 발표
- Bayesian Game 형성
메커니즘\((a,t)\)이 주어지면, Agent들은 Bayesian Game의 상황에 직면
- 각각의 type에 대해 어떤 report를 할지를 결정
메커니즘 디자이너는 게임의 균형과 예상되는 결과 계산
의도에 맞게 메커니즘 \(\Gamma=(a,t)\)을 조정
- 예상되는 결과 변경 가능
예제 1
‘경매(Auction)’도 하나의 메커니즘
경매참여자들은 경매물건에 대해 자신만의 평가가치(valuation} 보유
최고가밀봉경매 (first-price sealed-bid auction}
- (Allocation rule) 가장 높은 bid를 report한 bidder에게 물건을 준다.
- (Transfer rule) Winning bidder의 bid를 받겠다.
현시원리(Revelation Principle, Roger B. Myerson(1979, 1981))
목적하는 결과를 유도하는 메커니즘 설계는 굉장히 복잡
- 모든 메커니즘들 중 원하는 메커니즘의 모색은 모래사장에서 바늘 찾기.
현시원리 (Revelation Principle}는 탐색의 범위를 축소
- 특정한 메커니즘들만 살펴도 충분
그 메커니즘들은 무엇일까?
유인양립조건(incentive compatibility condition), 직접보고메커니즘 (direct mechanism)
현시원리
- 어떠한 베이즈게임의 어떠한 베이즈내쉬균형도 참여조건과 유인양립조건을 충족하는 직접보고 메커니즘의 베이즈내쉬균형으로 묘사될 수 있다.
직접보고메커니즘(direct mechanism)과 참여조건(participation condition)
직접보고메커니즘은 모든 경기자들이 truth-telling 즉, 내쉬균형대로 행동했을 때,
- 메커니즘에 참여하는 것이 그렇지 않을 때 보다 더 큰 기대수익 가능
개인합리성조건 (Individual rationality condition) 또는 참여조건 (participation condition)
직접보고메커니즘(direct mechanism)과 유인양립조건(incentive compatibility condition)
미비정보 베이즈게임의 어떠한 베이즈내쉬균형이라도
- 적절히 재구성된 새로운 베이즈게임의 베이즈내쉬균형에 의하여 묘사 가능
원래 분석대상이었던 게임이 무엇이었든 상관없이 새로 구성된 게임은 직접보고메커니즘 게임
원래의 균형이 무엇이었든 상관없이, 재구성된 게임으로부터 계산된 새 균형하에서 모든 경기자들은 각자의 유형을 정직하게 보고
- 유인양립조건
예제 2
차가밀봉경매(second-price sealed-bid auction)가 바로 직접보고메커니즘
최고가밀봉경매(first-price sealed-bid auction)와 달리, 차가밀봉경매(second-price sealed-bid auction)에서는 자신의 가치를 그대로 report하는 것이 Nash 균형
- 약우월 전략
차가밀봉경매(second-price sealed-bid auction)를 Vickrey auction이라고도 부름
차가밀봉경매으로 실현된 결과는 Efficiency
- efficient outcome을 보장하는 메커니즘을 Efficient Mechanism
Vickrey, Clarke, Groves 3인의 이름을 딴 VCG Mechanism은 Efficient mechanism
응용해 봅시다.
공공재 건설을 위한 그로브스-레드야드 메커니즘(Groves-Ledyard mechanism)
(공공재) 비경합성과 배제불가능성 \(\rightarrow\) 무임승차
개인이 자신의 평가가치를 거짓으로 보고할 유인
(그로브스-레드야드 메커니즘)
- 개인의 분담금이 자신의 보고금액과 관계없이 다른 주민들의 보고금액에 의해서만 결정
자신의 보고금액이 작으면 자신의 혜택도 작아지게 설계
자신의 혜택을 정직하게 보고하는 것이 약우월전략
- 우월전략 메커니즘(dominant-strategy mechnism)
정리하기
게임의 일종인 협상과 중재의 균형을 구할 수 있다.
메커니즘이 무엇이고, 현실에서 메커니즘 디자인이 적용된 사례를 말할 수 있다.