죄수의 딜레마
1. 우월전략과 열등전략
학습목표
다음 질문에 대해 답을 할 수 있다.
게임으로서 ‘죄수의 딜레마’를 이해한다면?
‘죄수의 딜레마’의 구성요소는? 그 관계는?
각 경기자의 우월전략과 열등전략은?
다음 문제를 생각해보자.
‘죄수의 딜레마’로 어떤 상황을 설명할 수 있을까?
그 상황마다 우월전략과 열등전략이 존재할까?
★ 핵심만 쏙쏙!
유리하면 ‘우월’, 불리하면 ‘열등’
게임으로서 ‘죄수의 딜레마’
죄수의 딜레마(Prisoner’s Dilemma)
“사회적으로 더 합리적인” 결과가 존재함에도 불구하고 실제로는 “덜 합리적인” 결과에 이르게 되는 상황
두 죄수(prisoner)가 겪는 딜레마(dilemma)로 묘사
죄수가 딜레마를 겪는 이유
자신의 선택과 타인의 선택이 결과(게임의 보수)에 영향
“사회적으로 더 합리적인“ 결과에 이르기 위해서는 두 죄수 모두가 “자신에게는 불리한” 결정이 필수적
죄수의 딜레마 배경 설명
공범으로 보이는 두 용의자가 검거되어 각각 독방에서 취조를 당하고 있는 상황
두 용의자가 모두 범행을 자백하면? 각각 징역 3년
두 용의자가 모두 범행을 부인하면? 각각 징역 1년
한 용의자는 자백하고 다른 용의자는 부인하면?
자백한 용의자는 정상이 참작되어 ‘집행유예’
부인한 용의자는 ‘위증죄’가 추가되어 징역 10년
서로 의사소통이 차단된 두 용의자
검거된 후 독방에서 취조를 받는 중 \(\rightarrow\) 다른 죄수와 어떠한 방식으로도 의사소통 불가
다른 죄수가 ‘배신’할 가능성을 배제할 수 있을까?
의사결정 주체는 결국 개인
자백하든 부인하든 처벌을 받는 건 결국 개인
개인이 판단하는 보수(처벌 수준)에 따라 선택을 결정
사회적 차원과 개인적 차원의 보수가 일치될 수 있을까?
죄수의 딜레마 게임의 구성요소
경기자: 검거된 두 용의자(용의자 1, 용의자 2) \(i \in \{1,2\}\)
경기자가 선택할 수 있는 전략 집합 \(\rightarrow\) 용의자 \(i\)가 선택할 수 있는 전략 집합
\(S_{i} =\) {자백,부인} for \(i = 1, 2\) \(\rightarrow\) \(s_{i} \in S_{i}\)에 대하여 \(s_{i} =\) 자백 또는 \(s_{i} =\) 부인
경기자가 전략을 선택했을 때 보수 \(u_{i}(s_{1},s_{2})\)
\(u_{1}\)(자백,자백) \(= -3\), \(u_{1}\)(자백,부인) \(=0\),
\(u_{1}\)(부인,자백) \(= -10\), \(u_{1}\)(부인,부인) \(= -1\)
정규형 게임으로서 죄수의 딜레마
보수표(Payoff Table)
경기자 1(용의자 1)의 전략을 행(row) 방향, 경기자 2(용의자 2)의 전략을 열(column) 방향으로 배치
\(\rightarrow\) 행(row) 방향으로 {자백, 부인}
\(\rightarrow\) 열(column) 방향으로 {자백, 부인} 표기
경기자 1의 전략 \(s_{1}\)과 경기자 2의 전략 \(s_{2}\)가 교차하는 자리에 전략 프로파일에 대응되는 보수 \((u_{1}(s_{1},s_{2}),u_{2}(s_{1},s_{2}))\) 표기
죄수의 딜레마에서 우월전략과 열등전략
우월전략(Dominant Strategy)
상대방이 어떠한 전략을 선택하는 지에 관계없이 자신의 전략 중에서 가장 높은 보수를 제공하는 전략
강우월전략(strongly dominant strategy)
경기자 1의 임의의 전략 \(s_{1}\)과 경기자 2의 임의의 전략 \(s_{1}\)에 대하여 \(u_{1}(s_{1}^{*},s_{2}) > u_{1}(s_{1},s_{2})\)를 만족하는 경기자 1의 전략 \(s_{1}^{*}\)
약우월전략(weakly dominant strategy)
경기자 1의 임의의 전략 \(s_{1}\)과 경기자 2의 임의의 전략 \(s_{1}\)에 대하여 \(u_{1}(s_{1}^{*},s_{2}) \geq u_{1}(s_{1},s_{2})\)를 만족하는 경기자 1의 전략 \(s_{1}^{*}\)
열등전략(Dominated Strategy)
상대방이 어떠한 전략을 선택하는 지에 관계없이 자신의 전략 중에서 더 높은 보수를 제공하는 대안이 있는 전략
강열등전략(strongly dominated strategy)
경기자 2의 임의의 전략 \(s_{1}\)에 대하여, \(u_{1}(\widehat{s_{1}},s_{2}) < u_{1}(s_{1}^{′},s_{2})\)를 만족하는 경기자 1의 전략 \(s_{1}^{′}\)이 존재할 때 경기자 1의 전략 \(\widehat{s_{1}}\)
약열등전략(weakly dominated strategy)
경기자 2의 임의의 전략 \(s_{1}\)에 대하여, \(u_{1}(\widehat{s_{1}},s_{2}) \leq u_{1}(s_{1}^{′},s_{2})\)를 만족하는 경기자 1의 전략 \(s_{1}^{′}\)이 존재할 때 경기자 1의 전략 \(\widehat{s_{1}}\)
용의자 1에게는 ‘자백‘이 강우월전략이자 약우월전략
용의자 2의 전략이 ‘자백’일 때
\(u_{1}\)(자백,자백) \(= −3 > u_{1}\)(부인,자백) \(= −10\)
용의자 2의 전략이 ‘부인’일 때
\(u_{1}\)(자백,부인) \(= 0 > u_{1}\)(부인,부인) \(= −1\)
용의자 1에게는 ‘자백‘이 유리 (※ 보수가 대칭이므로 용의자 2도 ‘자백’이 유리)
용의자 1에게는 ‘부인‘이 강열등전략이자 약열등전략
용의자 2의 전략이 ‘자백’일 때
\(u_{1}\) (부인, 자백) \(= −10 < u_{1}\) (자백, 자백) \(= −3\)
용의자 2의 전략이 ‘부인’일 때
\(u_{1}\) (부인, 부인) \(= -1 < u_{1}\) (자백, 부인) \(= 0\)
용의자 1에게는 ‘부인‘이 불리 (※ 보수가 대칭이므로 용의자 2도 ‘부인’이 불리)
요약
게임으로서 ‘죄수의 딜레마’의 구성 요소는?
경기자: 검거되어 취조를 받고 있는 두 용의자
전략 집합: 각 용의자는 {자백, 부인} 중 하나를 선택
보수: 전략 프로파일에 따라 4가지 보수를 정의
죄수의 딜레마에서 용의자의 우월전략과 열등전략은?
우월전략: 두 용의자 모두 ‘자백‘이 유리
열등전략: 두 용의자 모두 ‘부인‘이 불리
2. 단계적 소거
학습목표
다음 질문에 대해 답을 할 수 있다.
열등전략을 후보에서 제외할까?
우월전략만을 후보로 보존할까?
최후까지 남는 우월전략의 조합이 항상 존재할까?
다음 문제를 생각해보자.
약열등전략은 언제든 소거할 수 있을까?
전략의 수가 많아지면 어떻게 해야 할까?
★ 핵심만 쏙쏙!
불리한 전략은 후보에서 제외하자!
‘죄수의 딜레마’에서 강열등전략의 소거
강열등전략의 단계적 소거(Iterated deletion of strictly dominated strategy)
경기자가 합리적(rational)이라고 가정
\(\rightarrow\) 강열등전략은 절대로 선택하지 않을 것!
강열등전략을 경기자가 선택할 수 있는 전략 집합에서 제외
\(\rightarrow\) 전략 집합과 이에 따른 보수를 간소화 및 단순화
한번에 모든 강열등전략을 전략 집합에서 제외하지 않고 강열등전략을 하나씩 단계적으로 소거
보수표(Payoff Table)
두 용의자 모두의 강우월전략: ‘자백‘
두 용의자 모두의 강열등전략: ‘부인‘
(단계 1) 보수표에서 용의자 1의 강열등전략 ‘부인’을 소거
(단계 2) 용의자 1의 강열등전략 ‘부인’이 소거된 보수표에서 용의자 2의 강열등전략 ‘부인’을 소거
(결과) 용의자 1과 용의자 2의 강열등전략을 단계적 소거 후 두 용의자 모두 ‘자백‘을 선택하고 ‘-3’의 보수를 획득
단계적 소거의 확장
합리화전략(rationalizable strategy)
강열등전략의 단계적 소거(강단계소거, Strict iterative dominance) 후 최후 생존 전략
합리화전략은 하나일 수도, 다수일 수도 있음
우월전략해가 존재하는 게임(dominance solvable)
합리화전략으로부터 하나의 전략 조합만 만들 수 있을 때
‘죄수의 딜레마’는 우월전략해가 존재하는 대표적 게임
강단계소거를 적용하기 위한 조건
각 경기자가 합리적(rational)
\(\rightarrow\) (같은 상황이라면) 보수가 높은 전략을 선택
각 경기자가 합리적이라는 사실이 “common sense”
\(\rightarrow\) 경기자 1이 합리적
\(\rightarrow\) “경기자 1이 합리적”이라는 사실을 경기자 2가 인지
\(\rightarrow\) ‘“경기자 1이 합리적”이라는 사실을 경기자 2가 인지’하고 있다는 사실을 경기자 1이 인지
\(\rightarrow\) …
약열등전략의 단계적 소거
약열등전략을 전략 집합에서 단계적으로 소거하는 약단계소거(Weak iterated dominance)도 정의 가능
강열등전략을 전략 집합에서 단계적으로 제거하는 강단계소거와 유사하게 약열등전략을 전략 집합에서 제외
약열등전략은 강열등전략의 조건을 ‘\(<\)’에서 ‘\(\leq\)’로 완화
‘죄수의 딜레마‘에서는 두 용의자 모두 ‘부인’이 강열등전략이자 약열등전략
\(\rightarrow\) 강열등전략은 없고 약열등전략만 있는 게임도 존재
약단계소거 예시
(단계 1) 경기자 1의 약열등전략인 ‘Top’ 소거
경기자 2의 전략이 ‘Left’일 때
\(u_{1}\)(Top, Left) \(= 4 < u_{1}\)(Bottom, Left) \(= 5\)
경기자 2의 전략이 ‘Right’일 때
\(u_{1}\)(Top, Right) \(= 2 \leq u_{1}\)(Bottom, Right) \(= 2\)
(단계 2) 경기자 2의 강열등전략인 ‘Right’ 소거
경기자 1의 합리화전략이 ‘Bottom’뿐이므로
\(u_{2}\)(Bottom, Right) \(= 2 < u_{2}\)(Bottom, Left) \(= 3\)
(결과) 경기자 1의 약열등전략 ‘Top’을 소거, 경기자 2의 강열등전략 ‘Right’를 소거한 후, 경기자 1은 ‘Bottom’, 경기자 2는 ‘Left’을 선택하여 각각 5와 3의 보수를 획득
경기자 1의 전략 집합에서 ‘Top’ 소거
경기자 2의 전략이 ‘Left’일 때
\(u_{1}\)(Top, Left) \(= 4 < u_{1}\)(Bottom, Left) \(= 5\)
경기자 2의 전략이 ‘Right’일 때
\(u_{1}\)(Top, Right) \(= 2 \leq u_{1}\)(Bottom, Right) \(= 2\)
약단계소거의 한계 1: 확정적 보수의 전제가 필수
전략 프로파일에 따른 보수를 확정적으로 알고 있어야 함
어떤 약열등전략에서 ‘\(=\)’만 성립하는 보수가 정말 같을까?
\(\rightarrow\) 다르다면 약열등전략이 아닐 수 있고, 소거도 불가능!
약단계소거의 한계 2: 소거 순서가 결과에 영향
죄수의 딜레마에서는 강열등전략을 소거하는 순서와 관계없이 게임의 해가 (자백, 자백)으로 일치
반면, 약단계소거에서는 어떤 경기자의 약열등전략을 먼저 소거하는지 그 순서에 따라 결과가 영향을 받기도…
게임이론으로 사회 현상을 이해(예측)하고 싶지만?
\(\rightarrow\) 일관된 결과에 이르지 않기 때문에 예측에 한계
약단계소거의 한계 2: 예시
경기자 1에게 ‘Top’은 ‘Middle’에 의한 약열등전략
또한 ‘Bottom’도 ‘Middle’에 의한 약열등전략
순서 1) 경기자 1의 ‘Top’ 소거
\(\rightarrow\) 경기자 2의 ‘Left’ 소거(why?) \(\rightarrow\) (M, R); (B, R)
순서 2) 경기자 1의 ‘Bottom’ 소거
\(\rightarrow\) 경기자 1의 ‘Top’ 소거(why?)
\(\rightarrow\) 경기자 2의 ‘Left’ 소거(why?) \(\rightarrow\) (M, R)
요약
열등전략을 후보에서 제외할까?
경기자가 합리적이라는 게 common sense라면
열등전략은 선택되지 않으므로 후보에서 제외 가능
우월전략만을 후보로 남길까?
- 우월전략이 존재하지 않을 가능성이 존재
최후까지 남는 우월전략의 조합은 항상 존재할까?
- 우월전략이 아닌 다른 개념으로 설명이 필요
3. 순수전략 내쉬균형
학습목표
다음 질문에 대해 답을 할 수 있다.
내쉬균형의 정의는 무엇일까?
내쉬균형은 유일할까?
우월전략해는 내쉬균형일까?
반대로 내쉬균형을 우월전략해일까?
다음 문제를 생각해보자.
- 순수전략 내쉬균형은 항상 존재할까?
★ 핵심만 쏙쏙!
내쉬균형은 바꿀 유인이 없는 전략 조합
내쉬균형의 개념
우월전략해가 존재하지 않는 게임?
‘죄수의 딜레마’는 우월전략과 열등전략이 모두 존재하는 게임
열등전략이 존재하는 게임에서는?
열등전략을 단계적으로 소거함으로써 결과에 도달
\(\rightarrow\) 이때 우월전략도 존재하면, 우월전략해가 존재
우월전략만 존재하고 열등전략은 없는 게임에서는?
소거할 열등전략이 없으므로 우월전략 조합이 최후 생존
일반적인 게임은? 우월전략과 열등전략 모두 부재(不在)
\(\rightarrow\) 합리적 경기자의 전략 선택 및 결과 예측에 한계
순수전략 내쉬균형(Pure-Strategy Nash Equilibrium)
어떤 경기자도 현재 전략 조합에서 자신의 전략만 다른 전략으로 바꿀 유인이 없는 “안정적인” 전략의 조합
(2인 게임에서) 다음 조건을 모두 만족하는 순수전략조합 \((s_{1}^{*},s_{2}^{*})\)을 순수전략 내쉬균형이라고 정의
임의의 \(s_{1} \in S_{1}\)에 대하여, \(u_{1}(s_{1}^{*},s_{2}^{*}) \geq u_{1}(s_{1},s_{2}^{*})\)
임의의 \(s_{2} \in S_{2}\)에 대하여, \(u_{2}(s_{1}^{*},s_{2}^{*}) \geq u_{2}(s_{1}^{*},s_{2})\)
(𝑛 \(\geq\) 2인 게임에서) 다음 조건을 만족하는 순수전략조합 \((s_{1}^{*}, s_{2}^{*}, \ldots, s_{n}^{*})\)을 순수전략 내쉬균형이라고 정의
모든 경기자 \(i = 1, 2, \ldots, n\)과 임의의 \(s_{1} \in S_{1}\)에 대하여,
\[\begin{align} u_{i}(s_{1}^{*}, s_{2}^{*}, \ldots, s_{i}^{*}, \ldots, s_{n}^{*}) & \geq u_{i}(s_{1}^{*}, s_{2}^{*}, \ldots, s_{i}, \ldots, s_{n}^{*}) \\ \text{또는} \,\, u_{i}(s_{i}^{*}, s_{-i}^{*}) & \geq u_{i}(s_{i}, s_{-i}^{*}) \end{align}\]※ 여기에서 \(s_{-i} = (s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{i-1}, s_{i+1}, \ldots, s_{n})\)는 경기자 \(i\)를 제외한 나머지 경기자가 선택하는 전략 조합
죄수의 딜레마 게임의 내쉬균형
죄수의 딜레마 게임의 보수표
네 가지 전략 조합
(자백, 자백); (자백, 부인); (부인, 자백); (부인, 부인)
\(\rightarrow\) 전략 조합마다 각 경기자의 전략 변경 유인을 평가
전략 조합 1: (자백, 자백) \(\rightarrow\) 내쉬균형
경기자 1의 입장: 전략을 바꿀 유인 없음
\(u_{1}\)(자백,자백) \(= −3 \geq u_{1}\)(부인,자백) \(= −10\)
경기자 2의 입장: 전략을 바꿀 유인 없음
\(u_{2}\)(자백,자백) \(= −3 \geq u_{2}\)(자백,부인) \(= −10\)
전략 조합 2: (자백, 부인) \(\rightarrow\) 내쉬균형 아님
경기자 1의 입장: 전략을 바꿀 유인 없음
\(u_{1}\)(자백,부인) \(= 0 \geq u_{1}\)(부인,부인) \(= −1\)
경기자 2의 입장: 전략을 바꿀 유인 있음(부인 \(\rightarrow\) 자백)
\(u_{2}\)(자백,부인) \(= −10 < u_{2}\)(자백,자백) \(= −3\)
전략 조합 3: (부인, 자백) \(\rightarrow\) 내쉬균형 아님
경기자 1의 입장: 전략을 바꿀 유인 있음(부인 \(\rightarrow\) 자백)
\(u_{1}\)(부인,자백) \(= −10 < u_{1}\)(자백,자백) \(= −1\)
경기자 2의 입장: 전략을 바꿀 유인 없음
\(u_{2}\)(부인,자백) \(= 0 \geq u_{2}\)(부인,부인) \(= −1\)
전략 조합 4: (부인, 부인) \(\rightarrow\) 내쉬균형 아님
경기자 1의 입장: 전략을 바꿀 유인 있음(부인 \(\rightarrow\) 자백)
\(u_{1}\)(부인,부인) \(= −1 < u_{1}\)(자백,부인) \(= 0\)
경기자 2의 입장: 전략을 바꿀 유인 있음(부인 \(\rightarrow\) 자백)
\(u_{2}\)(부인,부인) \(= −1 < u_{2}\)(부인,자백) \(= 0\)
죄수의 딜레마 게임의 보수표
우월전략의 조합인 (자백, 자백)이 내쉬균형
우월전략은 다른 참가자의 선택에 관계 없이전략을 변경할 유인이 없기 때문에 내쉬균형에 해당!
다른 정규형 게임의 내쉬균형
치킨 게임(Chicken game)
- 보수표
우월전략, 열등전략 모두 없음
\(\rightarrow\) 네 가지 전략 조합에서 보수를 비교하여 내쉬균형 판단
치킨 게임 전략 조합 1: (돌진, 돌진)
‘매파’의 입장: 전략을 바꿀 유인 있음(돌진 \(\rightarrow\) 회피)
\(u_{1}\)(돌진,돌진) \(= −8 < u_{1}\)(회피,돌진) \(= −4\)
‘비둘기파’의 입장: 전략을 바꿀 유인 있음(돌진 \(\rightarrow\) 회피)
\(u_{2}\)(돌진,돌진) \(= −8 < u_{2}\)(돌진,회피) \(= −4\)
치킨 게임 전략 조합 2: (돌진, 회피) \(\rightarrow\) 내쉬균형!
‘메파’의 입장: 전략을 바꿀 유인 없음
\(u_{1}\)(돌진,회피) \(= 4 \geq u_{1}\)(회피,회피) \(= 0\)
‘비둘기파’의 입장: 전략을 바꿀 유인 없음
\(u_{2}\)(돌진,회피) \(= −4 \geq u_{2}\)(돌진,돌진) \(= −8\)
치킨 게임 전략 조합 3: (회피, 돌진) \(\rightarrow\) 내쉬균형!
‘매파’의 입장: 전략을 바꿀 유인 없음
\(u_{1}\)(회피,돌진) \(= −4 \geq u_{1}\)(돌진,돌진) \(= −8\)
‘비둘기파’의 입장: 전략을 바꿀 유인 없음
\(u_{2}\)(회피,돌진) \(= 4 \geq u_{2}\)(회피,회피) \(= 0\)
치킨 게임 전략 조합 4: (회피, 회피)
‘매파’의 입장: 전략을 바꿀 유인 있음(회피 \(\rightarrow\) 돌진)
\(u_{1}\)(회피,회피) \(= 0 < u_{1}\)(돌진,회피) \(= 4\)
‘비둘기파’의 입장: 전략을 바꿀 유인 있음(회피 \(\rightarrow\) 돌진)
\(u_{2}\)(회피,회피) \(= 0 < u_{2}\)(회피,돌진) \(= 4\)
치킨 게임의 내쉬균형
(돌진, 회피)과 (회피, 돌진) 모두 내쉬균형
두 내쉬균형 중 어떤 것이 실현될까? 둘다 가능!
\(\rightarrow\) 특정 선택에 공약(commitment)과 신빙성의 문제
성대결 게임(Battle-of-the-sexes game)
- 보수표
우월전략, 열등전략 모두 없음
\(\rightarrow\) 네 가지 전략 조합에서 보수를 비교하여 내쉬균형 판단
성대결 게임 전략 조합 1: (야구장, 야구장) \(\rightarrow\) NE!
DM 1의 입장: 전략을 바꿀 유인 없음
\(u_{1}\)(야구장,야구장) \(= 5 \geq u_{1}\)(콘서트장,야구장) \(= 0\)
DM 2의 입장: 전략을 바꿀 유인 없음
\(u_{2}\)(야구장,야구장) \(= 2 \geq u_{2}\)(야구장,콘서트장) \(= 0\)
성대결 게임 전략 조합 2: (야구장, 콘서트장)
DM 1의 입장: 전략을 바꿀 유인 있음(야구장 \(\rightarrow\) 콘서트장)
\(u_{1}\)(야구장,콘서트장) \(= 0 < u_{1}\)(콘서트장,콘서트장) \(= 2\)
DM 2의 입장: 전략을 바꿀 유인 있음(콘서트장 \(\rightarrow\) 야구장)
\(u_{2}\)(야구장,콘서트장) \(= 0 < u_{2}\)(야구장,야구장) \(= 2\)
성대결 게임 전략 조합 3: (콘서트장, 야구장)
DM 1의 입장: 전략을 바꿀 유인 있음(콘서트장 \(\rightarrow\) 야구장)
\(u_{1}\)(콘서트장,야구장) \(= 0 < u_{1}\)(야구장,야구장) \(= 5\)
DM 2의 입장: 전략을 바꿀 유인 있음(야구장 \(\rightarrow\) 콘서트장)
\(u_{2}\)(콘서트장,야구장) \(= 0 < u_{2}\)(콘서트장,콘서트장) \(= 5\)
성대결 게임 전략 조합 4: (콘서트장, 콘서트장) \(\rightarrow\) NE!
DM 1의 입장: 전략을 바꿀 유인 없음
\(u_{1}\)(콘서트장,콘서트장) \(= 2 \geq u_{1}\)(야구장,콘서트장) \(= 0\)
DM 2의 입장: 전략을 바꿀 유인 없음
\(u_{2}\)(콘서트장,콘서트장) \(= 5 \geq u_{2}\)(콘서트장,야구장) \(= 0\)
성대결 게임의 내쉬균형
(야구장, 야구장)과 (콘서트장, 콘서트장) 모두 내쉬균형
두 내쉬균형 중 어떤 것이 실현될까?
정규형 게임에 포함되지 않은 요인에 의해서 결정
요약
내쉬균형의 정의는 무엇일까?
- 경기자 모두가 변경할 유인이 없는 전략 조합
내쉬균형은 유일할까?
- 여러 개의 내쉬균형이 존재할 수 있음
우월전략해는 내쉬균형일까? 그 반대는 성립할까?
우월전략은 변경할 유인이 없으므로 내쉬균형
내쉬균형은 우월전략의 조합이지는 않을 수도!
정리하기
‘죄수의 딜레마’라는 현상을 게임으로 이해
경기자의 전략 중 우월전략과 열등전략이 구분
우월전략은 ‘유리한’ 전략, 열등전략은 ‘불리한’ 전략
모든 경기자가 현재 전략을 변경할 유인이 없는 전략 조합인 내쉬균형으로 게임의 결과를 예측