경쟁 모형과 균형

1. 생산량 경쟁

학습목표

• 다음 질문에 대해 답을 할 수 있다.

  • 과점 시장과 게임은 어떤 관계일까?

  • 쿠르노 복점 모형의 가정은 무엇일까?

  • 쿠르노 복점 모형에서 균형 생산량은 어떻게 구할까?

• 다음 문제를 생각해보자.

  • 쿠르노 복점 모형의 여러 가지 가정이 완화된다면?

  • 쿠르노 복점 모형으로 설명할 수 있는 사례는?

• ★ 핵심만 쏙쏙!

  수요가 충분할 때는 생산량으로 경쟁!

과점의 개념과 특징

• 과점(Oligopoly)

  • 소수의 기업이 서로 대체될 가능성이 매우 큰, 즉 서로 경쟁 관계에 있는 제품(서비스 포함)를 공급하는 시장 구조

    예) 정유시장, 이동통신시장, 완성차 시장 등

• 과점의 구분

  • 순수 과점: 모든 기업이 ‘동질적(homogeneous)’ 제품을 공급

  • 차별화된 과점: 각 기업이 차별화된 제품을 공급하며 경쟁

• 과점의 특징

  • 과점시장에서 각 기업의 가격 및 생산량 관한 의사결정은 다른 기업의 가격 및 판매량에 직접적인 영향

  • 각 기업이 이윤 극대화(profit maximization)를 위해 자사의 의사결정에 대한 다른 기업의 대응을 고려할 필요

• 과점과 게임

  • 소수의 기업이 경기자로 참가

  • 각 기업이 가격 및 생산량을 결정

  • 결정된 가격 및 생산량에 따라 이윤을 보수로 획득

쿠르노 복점 모형과 균형

• 쿠르노 복점 모형(Cournot(1838) Duopoly Model)

  • 두 기업이 제품을 공급하는 과점인 복점(duopoly)에서 생산량으로 경쟁하는 상황을 모형화

  • 경쟁의 결과 및 영향, 담합의 안정성 등 설명 가능

• 쿠르노 복점 모형의 가정

  • 시장의 역수요함수 (단, \(a > 0\)는 시장 규모)

    \[P = a - Q\]

  • 시장의 공급량

    \[Q = q_{1} + q_{2}\]

  • 기업 \(i\)는 이윤 \(\pi_{i}\) 극대화를 위해 공급량 \(q_{i}\)를 결정

• 모형의 풀이

  • 기업 1의 이윤 (여기에서, \(c\)는 생산의 평균 비용이자 한계 비용)

    \[\pi_{1} = Pq_{1} - cq_{1} = (P - c)q_{1}\]

  • 시장의 역수요함수(\(P = a - Q\))를 \(\pi_{1}\)에 대입

    \[\begin{align} \pi_{1} & = \left\lbrack (a - Q) - c \right\rbrack q_{1} \\ & = \left\lbrack \left( a - \left( q_{1} + q_{2} \right) - c \right) \right\rbrack q_{1} \\ & = \left\lbrack a - c - q_{1} - q_{2} \right\rbrack q_{1} \end{align}\]

  • \(\pi_{1}\)을 최대화하는 생산량 \(q_{1}\)이 충족하는 조건은?

    일계조건(First-order condition) \(\left. \frac{\partial\pi_{1}}{\partial q_{1}} \right\vert_{q_1 = q_1^*} = 0\)

    이계조건(Second-order condition) \(\left. \frac{\partial^{2}\pi_{1}}{\partial q_{1}^{2}} \right\vert_{q_1 = q_1^*} \leq 0\)

  • \(\pi_{1}\)의 일계조건(First-Order Condition)

    \[\begin{align} \frac{\partial\pi_{1}}{\partial q_{1}} & = - q_{1} + \left\lbrack a - c - q_{1} - q_{2} \right\rbrack \\ & = a - c - 2q_{1} - q_{2} \\ \frac{\partial\pi_{1}}{\partial q_{1}} \vert_{q_1 = q_1^*} & = 0 \\ \rightarrow q_{1}^{*} & = \frac{a - c - q_{2}}{2} \end{align}\]

  • \(\pi_{1}\)의 이계조건(Second-Order Condition)

    \[\begin{align} \frac{\partial^{2}\pi_{1}}{\partial q_{1}^{2}} & = \frac{\partial}{\partial q_{1}}\left( \frac{\partial\pi_{1}}{\partial q_{1}} \right) \\ & = \frac{\partial}{\partial q_{1}}\left( a - c - 2q_{1} - q_{2} \right) \\ & = - 2 \leq 0 \end{align}\]

  • 기업 2의 이윤 (여기에서, \(c\)는 생산의 평균 비용이자 한계 비용)

    \[\pi_{2} = Pq_{2} - cq_{2} = (P - c)q_{2}\]

  • 시장의 역수요함수(\(P = a - Q\))를 \(\pi_{2}\)에 대입

    \[\begin{align} \pi_{2} & = \left\lbrack (a - Q) - c \right\rbrack q_{2} \\ & = \left\lbrack \left( a - \left( q_{1} + q_{2} \right) - c \right) \right\rbrack q_{2} \\ & = \left\lbrack a - c - q_{1} - q_{2} \right\rbrack q_{2} \end{align}\]

  • \(\pi_{2}\)의 일계조건과 이계조건

    \[\begin{align} \left. \ \frac{\partial\pi_{2}}{\partial q_{2}} \right\vert_{q_2 = q_2^*} & = 0 \\ \rightarrow q_{2}^{*} & = \frac{a - c - q_{1}}{2} \\ \frac{\partial^{2}\pi_{2}}{\partial q_{2}^{2}} & = - 2 \leq 0 \end{align}\]

  • 각 기업의 최적 대응(Best Response, 최선 응수)

    기업 1의 최적 대응

    \[q_{1}^{*} = \frac{a - c - q_{2}}{2}\]

    기업 2의 최적 대응

    \[q_{2}^{*} = \frac{a - c - q_{1}}{2}\]

  • 균형 조건(\(q_{1} = q_{1}^{*}\), \(q_{2} = q_{2}^{*}\))을 활용하여 최적 대응 연립

    \[\begin{align} q_{1}^{*} & = \frac{a - c - q_{2}}{2} = \frac{a - c - \left( \frac{a - c - q_{1}^{*}}{2} \right)}{2} \\ 2q_{1}^{*} & = \frac{a - c}{2} + \frac{1}{2}q_{1}^{*} \\ \rightarrow q_{1}^{*} & = \frac{a - c}{3}, \,\, q_{2}^{*} = \frac{a - c}{3} \end{align}\]

• 모형의 균형

  • 각 기업의 균형 생산량

    \[q_{1}^{*} = q_{2}^{*} = \frac{a - c}{3}\]

  • 시장의 균형 생산량

    \[Q^{*} = q_{1}^{*} + q_{2}^{*} = \frac{2}{3}(a - c)\]

  • 시장의 균형 가격

    \[P^{*} = a - Q^{*} = \frac{a + 2c}{3}\]

  • 각 기업의 균형 이윤

    \[\pi_{1}^{NE} = \pi_{2}^{NE} = \left( P^{*} - c \right)q_{1}^{*} = \left( \frac{a + 2c}{3} - c \right)\left( \frac{a - c}{3} \right) = \frac{(a - c)^{2}}{9}\]

요약

• 과점 시장과 게임의 관계는?

  • 경기자: 경쟁 관계인 소수의 기업

  • 전략 집합: 가격, 생산량 등 경쟁 수단의 수준

  • 보수: 경쟁 수단 결정에 따른 이윤

• 쿠르노 복점 모형의 가정과 균형은?

  • 동질적 제품을 공급하는 같은 효율성의 두 기업

  • 미분을 활용한 일계조건, 이계조건으로 균형 계산

2. 담합과 안정성

학습목표

• 다음 질문에 대해 답을 할 수 있다.

  • 쿠르노 복점 모형의 균형은 내쉬균형일까?

  • 집단적 독점자는 어떻게 행동할까?

  • 담합에 참여한 두 기업은 전략을 바꿀 유인이 있을까?

• 다음 문제를 생각해보자.

  • 과점의 균형과 담합의 결과를 기하학적으로 묘사하면?

  • 어떤 조건에서 담합이 계속 유지될 수 있을까?

• ★ 핵심만 쏙쏙!

  ‘담합’은 마치 한 몸인 것처럼!

담합의 개념

• 쿠르노 복점 모형의 균형

  • 각 기업이 개별적으로 이윤 최대화를 추구하는 상황

  • 두 기업 모두 생산량을 변경할 유인이 없는 내쉬균형!

• 담합(Collusion)

  • 과점 시장에서 경쟁 관계에 있는 기업이 이윤 향상을 위해 가격, 생산량, 거래 조건 등을 제한하는 행위

  • 쿠르노 복점 모형으로 담합의 형성 및 유지 조건 설명 가능

담합을 반영한 모형

• 쿠르노 복점 모형에서 두 기업의 담합

  • 기업 1과 기업 2가 담합을 통해 집단적 독점자(collective monopolist)로 행동을 가정

  • 집단적 독점자의 최적 생산량 \(Q^{M}\)을 먼저 산정한 후 \(Q^{M}\)을 두 기업이 양분하기로 합의

    \[q_{1}^{M} = q_{2}^{M} = \frac{Q^{M}}{2}\]

  • 과점의 균형 이윤이 담합의 이윤보다 크면?

    개별 기업은 담합 대신 경쟁을 선택하여 이윤을 추구

  • 과점의 균형 이윤보다 담합의 이윤이 크면?

    개별 기업은 담합을 통해 보다 높은 이윤을 추구

• 집단적 독점자의 의사결정

  • 집단적 독점자의 이윤

    \[\pi = PQ - cQ = (P - c)Q\]

  • 시장의 역수요함수(\(P = a - Q\))를 이윤에 대입

    \[\begin{align} \pi & = \left\lbrack (a - Q) - c \right\rbrack Q \\ & = (a - c - Q)Q \end{align}\]

  • 집단적 독점자의 최적 생산량

    \[\begin{align} \frac{d\pi}{dQ} & = - Q + a - c - Q \\ \left. \ \frac{d\pi}{dQ} \right|_{Q = Q^{M}} & = 0 \\ \rightarrow Q^{M} & = \frac{a - c}{2} \end{align}\]

  • 담합에 참여한 두 기업의 생산량과 이윤

    \[\begin{align} q_{1}^{M} & = q_{2}^{M} = \frac{Q^{M}}{2} = \frac{a - c}{4} \\ P^{M} & = \frac{a + c}{2} \\ \pi_{1}^{M} & = \pi_{2}^{M} = \frac{(a - c)^{2}}{8} \end{align}\]

• 과점 시장과 담합에서의 균형 비교

  • 담합으로 인한 (균형) 생산량 감소

    \[\begin{align} q_{1}^{*} & = q_{2}^{*} = \frac{a - c}{3} > q_{1}^{M} = q_{2}^{M} = \frac{a - c}{4} \\ Q^{*} & = \frac{2(a - c)}{3} > Q^{M} = \frac{a - c}{2} \end{align}\]

  • 담합으로 인한 (균형) 가격 상승?

    \[\begin{align} P^{*} & = \frac{a + 2c}{3} < P^{M} = \frac{a + c}{2} \,\, \text{if} \,\, a > c \\ P^{*} & < P^{M} \rightarrow 2a + 4c < 3a + 3c \rightarrow a > c \end{align}\]

  • 담합으로 인한 각 기업의 이윤 증가

    \[\pi_{1}^{*} = \pi_{2}^{*} = \frac{(a - c)^{2}}{9} < \pi_{1}^{M} = \pi_{2}^{M} = \frac{(a - c)^{2}}{8}\]

  • 두 기업이 집단적 독점자로서 하나의 기업처럼 생산량을 결정한다면, 담합으로 인한 생산량 절감 & 가격 상승을 통해 개별 이윤을 최대화할 때보다 더 많은 이윤을 획득 가능!

  • 개별 기업 입장에서도 담합에 참여하는 게 유리

담합의 안정성

• 담합과 균형

  • 과점 시장인 쿠르노 복점 모형의 결과가 균형인 이유는?

    두 기업이 생산량을 변경할 유인이 없기 때문!

  • 두 기업은 담합에 참여함으로써 더 많은 이윤을 확보

  • 두 기업이 담합하는 것은 (내쉬)균형인가?

    \(\rightarrow\) 담합에 참여한 기업은 생산량 제한을 받아들일까? NO!

    \(\rightarrow\) 생산량을 증가시킬 유인이 있다면 담합 유지에 한계

• 담합을 유지하지 않을 유인

  • 각 기업이 ‘개별 이윤을 최대화’하는 건 무리한 가정인가?

  • 개별 이윤 최대화를 위한 최선의 방법은?

    담합에 참여 의사를 표현

    \(\rightarrow\) 제한된 생산량에 대한 정보 획득(\(q_{1}^{M} = q_{2}^{M} = \frac{a - c}{4}\))

  • 경쟁 기업이 담합 생산량을 유지한다면?

    최적 대응 함수로 결정되는 생산량을 채택!

  • 경쟁 기업이 담합 생산량을 지키지 않는다면?

    담합을 유지하지 않고 최적 대응 생산량을 채택!

• 경쟁 기업이 담합을 유지할 때

  \[\widehat{q_{1}} = q_{1}^{M} = \frac{a - c}{4}\]

  • 기업 2의 최적 대응

    \[\widehat{q_{2}} = \frac{a - c - q_{1}^{M}}{2} = \frac{a - c - \frac{a - c}{4}}{2} = \frac{3(a - c)}{8}\]

  • 시장의 생산량

    \[\widehat{Q} = q_{1}^{M} + \widehat{q_{2}} = \frac{5(a - c)}{8}\]

  • 시장 가격

    \[\widehat{P} = a - \widehat{Q} = a - \frac{5(a - c)}{8} = \frac{3a + 5c}{8}\]

  • 기업 1의 이윤

    \[\widehat{\pi_{1}} = \left( \widehat{P} - c \right)\widehat{q_{1}} = \frac{3(a - c)^{2}}{32} < \pi_{1}^{M} = \frac{(a - c)^{2}}{8}\]

  • 기업 2의 이윤

    \[\widehat{\pi_{2}} = \left( \widehat{P} - c \right)\widehat{q_{2}} = \frac{9(a - c)^{2}}{64} > \pi_{2}^{M} = \frac{(a - c)^{2}}{8}\]

• 경쟁 기업이 담합을 유지하지 않을 때

  • 기업 1이 최적 대응에 따라 생산량을 결정

    \(\rightarrow\) 기업 1은 담합 대신 개별 이윤을 최대화

  • 기업 2의 입장에서도 담합을 유지할 유인 없음!

    \(\rightarrow\) 기업 2도 최적 대응에 따라 생산량 결정

  • 기업 1과 기업 2 모두 최적 대응으로 생산량 결정?

    쿠르노 복점 모형의 균형으로 수렴!

요약

• 쿠르노 복점 모형의 균형은 내쉬균형일까?

  • 두 기업 모두 생산량을 바꿀 유인이 없는 내쉬균형

• 집단적 독점자는 어떻게 행동할까?

  • 독점 기업의 생산량을 산정 후 균등하게 분할

• 담합에 참여한 두 기업은 전략을 바꿀 유인이 있을까?

  • 담합 참여 의사를 밝힘으로써 생산량 정보 획득

  • 담합 생산량에 대한 정보를 활용하면 이윤 개선 가능

3. 가격 경쟁

학습목표

• 다음 질문에 대해 답을 할 수 있다.

  • 과점에서 전략변수는 가격일까? 생산량일까?

  • 동질적 제품의 가격 차이에 수요는 어떻게 반응할까?

  • 가격을 낮춘다면 어디까지 낮출 수 있을까?

• 다음 문제를 생각해보자.

  • 동질적 제품을 판매할 때 효율성 차이는?

  • 동질적이지 않은 제품에서의 균형은 무엇일까?

• ★ 핵심만 쏙쏙!

  경쟁이 심화된 시장에서는 가격이 경쟁수단!

베르트랑 복점 모형 개요

• 가격 경쟁 상황에 대한 이해

  • 복점 시장에서 전략변수는 생산량이 아니라 가격!?

  • 동질적 제품을 판매하는 두 기업이 경쟁하는 복점 시장에서는 한 기업이 가격 인하를 통해 판매량을 대폭 늘리는 것이 가능!

  • 동질적 제품을 판매하는 두 기업이 가격으로 경쟁할 때 마진을 최소화하는 수준까지 가격이 하락하는 상황을 설명

    예) 이웃한 주유소는 판매가격을 같은 수준으로 낮게 유지

    \(\rightarrow\) 리터당 1원이라도 저렴한 주유소에 길게 늘어선 대기열

• 모형의 가정

  • 동질적 제품을 판매하는 두 기업

  • 두 기업은 생산량이 아닌 가격을 전략변수로 설정

  • 판매량은 두 기업의 가격에 따라 시장에서 결정

  • 두 기업의 평균비용과 한계비용은 서로 같고 일정함

  • 시장의 수요함수 \(Q = a - P\) 또는 역수요함수 \(P = a - Q\)

    (ⅰ) \(P_{1} > P_{2}\): \(Q_{1} = 0\), \(Q_{2} = a - P_{2}\)

    (ⅱ) \(P_{1} = P_{2}\): \(Q_{1} = \frac{1}{2}\left( a - P_{1} \right)\), \(Q_{2} = \frac{1}{2}\left( a - P_{2} \right)\)

    (ⅲ) \(P_{1} < P_{2}\): \(Q_{1} = a - P_{1}\), \(Q_{2} = 0\)

베르트랑 복점 모형 풀이

• 모형의 균형

  • 두 기업 모두 가장 경쟁적인 가격을 설정

    \[P_{1}^{*} = P_{2}^{*} = c \rightarrow Q_{1}^{*} = Q_{2}^{*} = \frac{1}{2}(a - c)\]

  • 두 기업의 균형 이윤 ‘0’

    \[\begin{align} \pi_{1}^{*} & = P_{1}^{*}Q_{1}^{*} - cQ_{1}^{*} = \left( P_{1}^{*} - c \right)Q_{1}^{*} = (c - c)\frac{1}{2}(a - c) = 0 \\ \pi_{2}^{*} & = P_{2}^{*}Q_{2}^{*} - cQ_{2}^{*} = \left( P_{2}^{*} - c \right)Q_{2}^{*} = (c - c)\frac{1}{2}(a - c) = 0 \end{align}\]

베르트랑 복점 모형 해석

• 균형 가격의 타당성

  • 두 기업은 균형 가격(\(P_{1}^{*} = P_{2}^{*} = c\))에서 가격을 변경할 유인이 없을까? YES!

    (ⅰ) \(P_{1} > P_{2}^{*} = c\): \(Q_{1} = 0\), \(Q_{2} = a - c\)

    \[\begin{align} \pi_{1} & = \left( P_{1} - c \right)Q_{1} = 0 \\ \pi_{2} & = \left( P_{2}^{*} - c \right)Q_{2} = (c - c)(a - c) = 0 \end{align}\]

    (ⅱ) \(P_{1} < P_{2}^{*} = c\): \(Q_{1} = a - P_{1}\), \(Q_{2} = 0\)

    \[\begin{align} \pi_{1} & = \left( P_{1} - c \right)\left( a - P_{1} \right) < 0 \, \text{(why?)} \\ \pi_{2} & = \left( P_{2}^{*} - c \right)Q_{2} = (c - c) \times 0 = 0 \end{align}\]

• 균형의 유일성

  • 균형 가격(\(P_{1}^{*} = P_{2}^{*} = c\))이 아닌 다른 내쉬균형이 존재할 가능성은 없을까? YES!

    비용 \(c\)보다 높은 가격을 부과한다고 가정 \(\widehat{P_{2}} > c\)

    만약 \(P_{1} = \widehat{P_{2}}\)이라면, \(Q_{1} = \frac{1}{2}\left( a - \widehat{P_{2}} \right)\), \(\widehat{Q_{2}} = \frac{1}{2}\left( a - \widehat{P_{2}} \right)\)

    \[\begin{align} \widehat{\pi_{1}} & = \left( P_{1} - c \right)Q_{1} = \frac{1}{2}\left( \widehat{P_{2}} - c \right)\left( a - \widehat{P_{2}} \right) \\ \widehat{\pi_{2}} & = \left( \widehat{P_{2}} - c \right)\widehat{Q_{2}} = \frac{1}{2}\left( \widehat{P_{2}} - c \right)\left( a - \widehat{P_{2}} \right) \end{align}\]

  • 만약 \(P_{1} = \widehat{P_{2}} - \epsilon\)이라면, \(Q_{1} = a - \widehat{P_{2}} - \epsilon\), \(Q_{2} = 0\)

    \[\begin{align} \widetilde{\pi_{1}} & = \left( P_{1} - c \right)Q_{1} = \left( \widehat{P_{2}} - c - \epsilon \right)\left( a - \widehat{P_{2}} + \epsilon \right) \\ \widetilde{\pi_{2}} & = \left( \widehat{P_{2}} - c \right)\widehat{Q_{2}} = \left( \widehat{P_{2}} - c \right) \times 0 = 0 \end{align}\]

  • 가격을 경쟁 기업과 같은 수준으로 유지할 때와 경쟁 기업보다 아주 조금이라도 낮추었을 때를 비교

    \[\begin{align} \widehat{\pi_{1}} & = \frac{1}{2}\left( \widehat{P_{2}} - c \right)\left( a - \widehat{P_{2}} \right) < 2\widehat{\pi_{1}} = \left( \widehat{P_{2}} - c \right)\left( a - \widehat{P_{2}} \right) \\ \ & \simeq \widetilde{\pi_{1}} = \left( \widehat{P_{2}} - c - \epsilon \right)\left( a - \widehat{P_{2}} + \epsilon \right) \end{align}\]

    \(\rightarrow\) 비용 \(c\)까지 계속 가격을 낮출 유인만 존재

요약

• 과점에서 전략변수는 가격일까? 생산량일까?

  • 시장의 경쟁 정도가 높다면 가격일 가능성, 시장의 경쟁 정도가 낮다면 생산량이 가능성

• 동질적 제품의 가격 차이에 수요는 어떻게 반응할까?

  • 미세하게 낮은 가격의 공급자가 모든 수요를 확보

• 가격을 낮춘다면 어디까지 낮출 수 있을까?

  • 마진을 최소화하는 가격의 설정이 내쉬균형

정리하기

• 과점은 소수의 기업이 대체재로 경쟁하는 시장 구조

• 쿠르노 복점 모형을 활용하여 생산량 경쟁 상황과 담합에 참여했을 때의 균형 계산 및 비교가 가능

• 베르트랑 복점 모형을 활용하여 가격 경쟁 상황에서 동질적 제품의 균형 가격이 한계비용과 같음을 설명