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게임이론으로 이해하는 사회 현상

혼합전략

1. 혼합전략의 개념

학습목표

  • 다음 질문에 대해 답을 할 수 있다.

    • 순수전략 내쉬균형은 항상 존재할까?

    • 혼합전략에서 어떤 전략이 선택될지 알 수 있을까?

    • 합리화전략과 혼합전략 사이의 관계는 무엇일까?

  • 다음 문제를 생각해보자.

    • 순수전략 내쉬균형이 존재하지 않는 게임의 특징은?

    • 혼합전략을 적용하면 보수는 어떻게 결정될까?

  • ★ 핵심만 쏙쏙!

    순수전략에 선택될 확률을 부여하면 혼합전략!

순수전략 균형이 존재하지 않는 게임

  • 홀짝 게임(Matching Pennies)

    • 경기자: 각각 여러 개의 동전을 가진 두 경기자

    • 전략 집합: {홀, 짝}

    • 보수표

    표

    • 우월전략, 열등전략 모두 없음

    • 네 가지 전략 조합에서 전략을 바꿀 유인이 있는지 판단

    표

  • 전략 조합 1: (홀, 홀)

    • 경기자 1의 입장: 전략을 바꿀 유인 있음(홀 \(\rightarrow\) 짝)

      \(u_{1}\)(홀,홀) \(= - 1 < u_{1}\)(짝,홀) \(= 1\)

    • 경기자 2의 입장: 전략을 바꿀 유인 없음

      \(u_{2}\)(홀,홀) \(= 1 \geq u_{2}\)(홀,짝) \(= - 1\)

    표

  • 전략 조합 2: (홀, 짝)

    • 경기자 1의 입장: 전략을 바꿀 유인 없음

      \(u_{1}\)(홀,짝) \(= 1 \geq u_{1}\)(짝,짝) \(= - 1\)

    • 경기자 2의 입장: 전략을 바꿀 유인 있음(짝 \(\rightarrow\) 홀)

      \(u_{2}\)(홀,짝) \(= - 1 < u_{2}\)(홀,홀) \(= 1\)

    표

  • 전략 조합 3: (짝, 홀)

    • 경기자 1의 입장: 전략을 바꿀 유인 없음

      \(u_{1}\)(짝,홀) \(= 1 \geq u_{1}\)(홀,홀) \(= - 1\)

    • 경기자 2의 입장: 전략을 바꿀 유인 있음(홀 \(\rightarrow\) 짝)

      \(u_{2}\)(짝,홀) \(= - 1 < u_{2}\)(짝,짝) \(= 1\)

    표

  • 전략 조합 4: (짝, 짝)

    • 경기자 1의 입장: 전략을 바꿀 유인 있음(짝 \(\rightarrow\) 홀)

      \(u_{1}\)(짝,짝) \(= - 1 < u_{1}\)(홀,짝) \(= 1\)

    • 경기자 2의 입장: 전략을 바꿀 유인 없음

      \(u_{2}\)(짝,짝) \(= 1 \geq u_{2}\)(짝,홀) \(= - 1\)

    표

  • 홀짝 게임의 균형

    • 네 가지 전략 조합 모두에서 적어도 한 경기자는 전략을 바꿀 유인이 있음

    • 순수전략 내쉬균형 없음

    표

순수전략을 선택할 확률을 도입

  • 혼합전략(mixed strategy)

    • 선택할 가능성이 있는 순수전략(합리화전략)을 어떤 확률분포에 따라 무작위로 추출 또는 선택

      ※ 무작위 전략(randomized strategy)

    • 혼합전략을 활용할 때 어떤 전략이 선택될지는 사전적(ex-ante, prior)으로는 알 수 없음

    • 확률분포에 따라 무작위로 추출 또는 선택하기 때문에 어떤 순수전략이 선택될 경향성만 추정이 가능

  • 혼합전략 예시 1

    • 홀짝 게임에서 ‘홀’ 또는 ‘짝’을 선택할 확률분포를 정의

      \(\rightarrow\) 주사위를 던져서 홀수가 나오면 ‘홀’, 짝수가 나오면 ‘짝’

    • 주사위를 던질 때 표본공간 \(S = \left\{ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \right\}\)

      홀수 \(O = \left\{ 1,\ 3,\ 5 \right\}\), 홀수가 나올 확률 \(\Pr\left\{ O \right\} = \frac{n(O)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

      짝수 \(E = \left\{ 2,\ 4,\ 6 \right\}\), 짝수가 나올 확률 \(\Pr\left\{ E \right\} = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

    • ‘홀’을 선택할 확률 \(\frac{1}{2}\), ‘짝’을 선택할 확률 \(\frac{1}{2}\)

  • 혼합전략 예시 2

    • 홀짝 게임에서 ‘홀’ 또는 ‘짝’을 선택할 확률분포를 정의

      \(\rightarrow\) 주사위를 던져서 ‘6의 약수’가 나오면 ‘홀’, ‘6의 약수가 아닌 수’가 나오면 ‘짝’

    • 주사위를 던질 때 표본공간 \(S = \left\{ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \right\}\)

      6의 약수 \(A = \left\{ 1,\ 2,\ 3,\ 6 \right\} \rightarrow \Pr\left\{ A \right\} = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)

      6의 약수가 아닌 수 \(B = \overline{A} = \left\{ 4,\ 5 \right\} \rightarrow \Pr\left\{ B \right\} = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)

    • ‘홀’을 선택할 확률 \(\frac{2}{3}\), ‘짝’을 선택할 확률 \(\frac{1}{3}\)

혼합전략과 합리화전략

  • 최적 대응(Best Response)

    • 경기자 \(i\)를 제외한 다른 경기자 \(- i\)의 전략이 주어졌을 때, 경기자 \(i\)의 다른 모든 전략보다 ‘크거나 같은’ 보수를 주는 전략

    • 경기자 \(i\)의 전략 \(\widehat{\sigma_{i}}\)는 다른 경기자 \(- i\)의 전략(조합) \(\sigma_{- i}\)에 대한 최적대응 if \(u_{i}\left( \widehat{\sigma_{i}},\ \sigma_{- i} \right) \geq u_{i}\left( \sigma_{i},\ \sigma_{- i} \right) \,\, \forall\sigma_{i} \in S_{i}\)를 만족시키는 \(\sigma_{- i}\)가 존재

      예) 홀짝 게임에서 경기자 1의 최적 대응

      경기자 2가 ‘홀’을 선택? \(u_{1}\)(짝,홀) \(= 1 \geq u_{1}\)(홀,홀) \(= - 1\)

      경기자 2가 ‘짝’을 선택? \(u_{1}\)(홀,짝) \(= 1 \geq u_{1}\)(짝,짝) \(= - 1\)

  • 합리화전략(Rationalizable Strategy)

    • 경기자가 서로 ‘합리적으로 행동할 것이다’라고 가정

    • 다른 경기자의 선택에 최적 대응을 선택하는 것이 합리적!

    • 경기자 \(i\)의 입장에서 ‘합리적’으로 판단할 때, 절대로 선택되지 않을 전략을 제외하고 남은 전략의 집합

    • 혼합전략은 합리화전략의 혼합

      \(\rightarrow\) 혼합전략은 합리화전략의 볼록결합(convex combination)

요약

  • 순수전략 내쉬균형은 항상 존재할까?

    • 경기자에게 분배되는 보수의 합이 일정하면 그 게임은 순수전략 내쉬균형이 존재하지 않음

  • 혼합전략에서 어떤 전략이 선택될지 알 수 있을까?

    • 사전적으로는 알 수 없으며, 경향성 추정만 가능

  • 합리화전략과 혼합전략 사이의 관계는 무엇일까?

    • 혼합전략은 합리화전략의 볼록결합

2. 혼합전략 내쉬균형

학습목표

  • 다음 질문에 대해 답을 할 수 있다.

    • 혼합전략의 확률분포는 어떻게 정의될까?

    • 혼합전략의 기대보수는 어떻게 계산해야 할까?

    • 홀짝 게임의 혼합전략 내쉬균형은 무엇일까?

  • 다음 문제를 생각해보자.

    • 혼합전략 내쉬균형은 항상 존재할까?

    • 기대보수 이외의 다른 기준은 없을까?

  • ★ 핵심만 쏙쏙!

    혼합전략 내쉬균형은 선택할 확률이 바뀌지 않는 확률분포

확률분포와 기대보수

  • 홀짝 게임(Matching Pennies)

    • 경기자: 각각 여러 개의 동전을 가진 두 경기자

    • 전략 집합: {홀, 짝}

    • 보수표

    표

  • 홀짝 게임에서 경기자 1의 확률분포

    • \(p\): 경기자 1이 ‘홀’을 선택할 확률

    • \(1 - p\): 경기자 1이 ‘짝’을 선택할 확률

  • 홀짝 게임에서 경기자 1의 혼합전략

    • \(p = 0\): 경기자 1이 확정적으로 ‘짝’을 선택

    • \(p = \frac{1}{3}\): {홀, 짝, 짝} 주머니에서 임의로 제비를 뽑아 선택

    • \(p = \frac{2}{3}\): {홀, 홀, 짝} 주머니에서 임의로 제비를 뽑아 선택

    • \(p = 1\): 경기자 1이 확정적으로 ‘홀’을 선택

  • 경기자 1의 확률분포를 고려한 경기자 2의 기대보수

    • 경기자 2가 ‘홀’을 선택하면?

      \[\begin{align} E\left\lbrack u_{2}( \cdot ,\text{홀}) \right\rbrack & = p \times u_{2}(\text{홀},\text{홀}) + (1 - p) \times u_{2}(\text{짝},\text{홀}) \\ & = p \times (1) + (1 - p) \times ( - 1) = 2p - 1 \end{align}\]

    • 경기자 2가 ‘짝’을 선택하면?

      \[\begin{align} E\left\lbrack u_{2}( \cdot ,\text{짝}) \right\rbrack & = p \times u_{2}(\text{홀},\text{짝}) + (1 - p) \times u_{2}(\text{짝},\text{짝}) \\ & = p \times ( - 1) + (1 - p) \times (1) = 1 - 2p \end{align}\]

기대보수에 따른 대응곡선

  • 경기자 2의 기대보수를 고려한 최적 대응

    • 경기자 1의 확률분포:

      \(\Pr \left\{ \text{홀} \right\} = p\), \(\Pr \left\{ \text{짝} \right\} = 1 - p\)

    • 경기자 2의 기대보수

      \(E\left\lbrack u_{2}( \cdot ,\text{홀}) \right\rbrack = 2p - 1\), \(E\left\lbrack u_{2}( \cdot ,\text{짝}) \right\rbrack = 1 - 2p\)

    • 경기자 2의 확률분포:

      \(\Pr \left\{ \text{홀} \right\} = q\), \(\Pr \left\{ \text{짝} \right\} = 1 - q\)

    • \[\begin{align} E\left\lbrack u_{2}( \cdot ,\text{홀}) \right\rbrack > E\left\lbrack u_{2}( \cdot ,\text{짝}) \right\rbrack & \Leftrightarrow p > \frac{1}{2} \rightarrow q = 1 \\ E\left\lbrack u_{2}( \cdot ,\text{홀}) \right\rbrack = E\left\lbrack u_{2}( \cdot ,\text{짝}) \right\rbrack & \Leftrightarrow p = \frac{1}{2} \rightarrow any \,\, q \in \lbrack 0,\ 1\rbrack \\ E\left\lbrack u_{2}( \cdot ,\text{홀}) \right\rbrack < E\left\lbrack u_{2}( \cdot ,\text{짝}) \right\rbrack & \Leftrightarrow p < \frac{1}{2} \rightarrow q = 0 \end{align}\]

  • 경기자 2의 대응곡선

    • \[\begin{align} E\left\lbrack u_{2}( \cdot ,\text{홀}) \right\rbrack > E\left\lbrack u_{2}( \cdot ,\text{짝}) \right\rbrack & \Leftrightarrow p > \frac{1}{2} \rightarrow q = 1 \\ E\left\lbrack u_{2}( \cdot ,\text{홀}) \right\rbrack = E\left\lbrack u_{2}( \cdot ,\text{짝}) \right\rbrack & \Leftrightarrow p = \frac{1}{2} \rightarrow any \,\, q \in \lbrack 0,\ 1\rbrack \\ E\left\lbrack u_{2}( \cdot ,\text{홀}) \right\rbrack < E\left\lbrack u_{2}( \cdot ,\text{짝}) \right\rbrack & \Leftrightarrow p < \frac{1}{2} \rightarrow q = 0 \end{align}\]

      표

  • 경기자 1의 기대보수를 고려한 최적 대응

    • 경기자 2의 확률분포:

      \(\Pr \left\{ \text{홀} \right\} = q\), \(\Pr \left\{ \text{짝} \right\} = 1 - q\)

    • 경기자 1의 기대보수

      \(E\left\lbrack u_{1}(\text{홀}, \cdot ) \right\rbrack = 1 - 2q\), \(E\left\lbrack u_{1}(\text{짝}, \cdot ) \right\rbrack = 2q - 1\)

    • 경기자 1의 확률분포:

      \(\Pr \left\{ \text{홀} \right\} = p\), \(\Pr \left\{ \text{짝} \right\} = 1 - p\)

    • \[\begin{align} E\left\lbrack u_{1}(\text{홀}, \cdot ) \right\rbrack > E\left\lbrack u_{1}(\text{짝}, \cdot ) \right\rbrack & \Leftrightarrow q < \frac{1}{2} \rightarrow p = 1 \\ E\left\lbrack u_{1}(\text{홀}, \cdot ) \right\rbrack = E\left\lbrack u_{1}(\text{짝}, \cdot ) \right\rbrack & \Leftrightarrow q = \frac{1}{2} \rightarrow any \,\, p \in \lbrack 0,\ 1\rbrack \\ E\left\lbrack u_{1}(\text{홀}, \cdot ) \right\rbrack < E\left\lbrack u_{1}(\text{짝}, \cdot ) \right\rbrack & \Leftrightarrow q > \frac{1}{2} \rightarrow p = 0 \end{align}\]

  • 경기자 1의 대응 곡선

    • \[\begin{align} E\left\lbrack u_{1}(\text{홀}, \cdot ) \right\rbrack > E\left\lbrack u_{1}(\text{짝}, \cdot ) \right\rbrack & \Leftrightarrow q < \frac{1}{2} \rightarrow p = 1 \\ E\left\lbrack u_{1}(\text{홀}, \cdot ) \right\rbrack = E\left\lbrack u_{1}(\text{짝}, \cdot ) \right\rbrack & \Leftrightarrow q = \frac{1}{2} \rightarrow any \,\, p \in \lbrack 0,\ 1\rbrack \\ E\left\lbrack u_{1}(\text{홀}, \cdot ) \right\rbrack < E\left\lbrack u_{1}(\text{짝}, \cdot ) \right\rbrack & \Leftrightarrow q > \frac{1}{2} \rightarrow p = 0 \end{align}\]

      표

대응곡선과 혼합전략 내쉬균형

  • 혼합전략 내쉬균형(Mixed Strategy Nash Equilibrium)

    • 두 경기자 모두에게 최적 대응인 \(p^{*}\)와 \(q^{*}\)를 결정

    • 두 대응곡선이 교차하는 점이 혼합전략 내쉬균형

      표

  • 홀짝 게임의 혼합전략 내쉬균형

    • 경기자 1: ‘홀’ 선택 확률 \(p^{*} = \frac{1}{2}\), ‘짝’ 선택 확률 \(1 - p^{*} = \frac{1}{2}\)

    • 경기자 2: ‘홀’ 선택 확률 \(q^{*} = \frac{1}{2}\), ‘짝’ 선택 확률 \(1 - q^{*} = \frac{1}{2}\)

    표

  • 홀짝 게임의 혼합전략 내쉬균형 해석

    • 경기자 1: ‘홀’ 선택 확률 \(p^{*} = \frac{1}{2}\), ‘짝’ 선택 확률 \(1 - p^{*} = \frac{1}{2}\)

      {홀, 짝} 제비가 같은 비율로 섞인 주머니에서 무작위로 하나의 제비를 추출하여 제비에 적힌 대로 실행

    • 경기자 2: ‘홀’ 선택 확률 \(q^{*} = \frac{1}{2}\), ‘짝’ 선택 확률 \(1 - q^{*} = \frac{1}{2}\)

      ‘제대로 만들어진’ 동전을 던져서 ‘앞면’이 나오면 ‘홀’, ‘뒷면’이 나오면 ‘짝’을 선택

    • 순수전략의 조합 (홀, 홀); (홀, 짝); (짝, 홀); (짝, 짝)이 각각 \(\frac{1}{4}\)의 확률로 실현될 것!

    • 네 가지 순수전략의 조합 중에서 무엇이 실현될지는 사전적으로 알 수 없음

    • 혼합전략 내쉬균형에서, 선택가능한 전략 조합은 같은 수준의 기대보수(홀짝 게임에서는 ‘0’)를 제공

요약

  • 혼합전략의 확률분포는 어떻게 정의될까?

    • 각각의 순수전략(합리화전략)을 선택할 확률

    • 확률분포를 정의하는 것이 경기자의 전략 집합

  • 혼합전략의 기대보수는 어떻게 계산해야 할까?

    • 상대의 확률분포를 기준으로 보수의 기댓값 계산

  • 홀짝 게임의 혼합전략 내쉬균형은 무엇일까?

    • ‘홀’과 ‘짝’을 각각 \(\frac{1}{2}\)의 확률로 무작위하게 선택

3. 혼합전략 내쉬균형의 적용

학습목표

  • 다음 질문에 대해 답을 할 수 있다.

    • 가위바위보 게임은 순수전략 내쉬균형이 존재할까?

    • 가위바위보 게임의 혼합전략 내쉬균형은 무엇일까?

    • 가위바위 게임의 혼합전략 내쉬균형은 어떻게 구현할까?

  • 다음 문제를 생각해보자.

    • 혼합전략으로 설명될 수 있는 상황은 무엇일까?

    • 현실 상황에서 혼합전략 내쉬균형의 의미는?

  • ★ 핵심만 쏙쏙!

    혼합전략 내쉬균형은 기대보수를 같게 하는 확률분포

가위바위보 게임의 순수전략 균형

  • 가위바위보 게임(Rock-Paper-Scissors Game)

    • 경기자: 두 경기자(경기자 1, 경기자 2)

    • 전략 집합: {가위, 바위, 보}

    • 보수표

    표

  • 가위바위보 게임(Rock-Paper-Scissors Game)

    • 우월전략, 열등전략 모두 없음

    • 9가지 전략조합이 균형이 될 수 있는지 판단 필요

    표

  • 전략조합 1: (가위, 가위)

    • 경기자 1: \(u_{1}\)(가위,가위) \(= 0 < u_{1}\)(바위,가위) \(= 1\)

    • 경기자 2: \(u_{2}\)(가위,가위) \(= 0 < u_{2}\)(가위,바위) \(= 1\)

    표

  • 전략조합 2: (가위, 바위)

    • 경기자 1: \(u_{1}\)(가위,바위) \(= - 1 < u_{1}\)(바위,바위) \(= 0\)

    • 경기자 2: \(u_{2}\)(가위,바위) \(= 1 \geq u_{2}\)(가위,가위) \(= 0\)

      \(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,u_{2}\)(가위,바위) \(= 1 \geq u_{2}\)(가위,보) \(= - 1\)

    표

  • 전략조합 3: (가위, 보)

    • 경기자 1: \(u_{1}\)(가위,보) \(= 1 \geq u_{1}\)(바위,보) \(= - 1\)

      \(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,u_{1}\)(가위,보) \(= 1 \geq u_{1}\)(보,보) \(= 0\)

    • 경기자 2: \(u_{2}\)(가위,보) \(= - 1 < u_{2}\)(가위,바위) \(= 1\)

    표

  • 전략조합 4: (바위, 가위)

    • 경기자 1: \(u_{1}\)(바위,가위) \(= 1 \geq u_{1}\)(가위,가위) \(= 0\)

      \(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,u_{1}\)(바위,가위) \(= 1 \geq u_{1}\)(보,가위) \(= - 1\)

    • 경기자 2: \(u_{2}\)(바위,가위) \(= - 1 < u_{2}\)(바위,바위) \(= 0\)

    표

  • 전략조합 5: (바위, 바위)

    • 경기자 1: \(u_{1}\)(바위,바위) \(= 0 < u_{1}\)(보,바위) \(= 1\)

    • 경기자 2: \(u_{2}\)(바위,바위) \(= 0 < u_{2}\)(바위,보) \(= 1\)

    표

  • 전략조합 6: (바위, 보)

    • 경기자 1: \(u_{1}\)(바위,보) \(= - 1 < u_{1}\)(가위,보) \(= 1\)

    • 경기자 2: \(u_{2}\)(바위,보) \(= 1 \geq u_{2}\)(바위,가위) \(= - 1\)

      \(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,u_{2}\)(바위,보) \(= 1 \geq u_{2}\)(바위,바위) \(= 0\)

    표

  • 전략조합 7: (보, 가위)

    • 경기자 1: \(u_{1}\)(보,가위) \(= - 1 < u_{1}\)(가위,가위) \(= 0\)

    • 경기자 2: \(u_{2}\)(보,가위) \(= 1 \geq u_{2}\)(보,바위) \(= - 1\)

      \(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,u_{2}\)(보,가위) \(= 1 \geq u_{2}\)(보,보) \(= 0\)

    표

  • 전략조합 8: (보, 바위)

    • 경기자 1: \(u_{1}\)(보,바위) \(= 1 \geq u_{1}\)(가위,바위) \(= - 1\)

      \(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,u_{1}\)(보,바위) \(= 1 \geq u_{1}\)(바위,바위) \(= 0\)

    • 경기자 2: \(u_{2}\)(보,바위) \(= - 1 < u_{2}\)(보,가위) \(= 1\)

    표

  • 전략조합 9: (보, 보)

    • 경기자 1: \(u_{1}\)(보,보) \(= 0 < u_{1}\)(가위,보) \(= 1\)

    • 경기자 2: \(u_{2}\)(보,보) \(= 0 < u_{2}\)(보,가위) \(= 1\)

    표

  • 가위바위보 게임

    • 순수전략 내쉬균형 없음

    • 약열등전략의 단계적 소거로 제외되는 전략 없음

    표

가위바위보 게임의 혼합전략 균형

  • 가위바위보 게임에서 경기자 1의 확률분포

    • \(p\): 경기자 1이 ‘가위’를 선택할 확률

    • \(q\): 경기자 1이 ‘바위’를 선택할 확률

    • \(1 - p - q\): 경기자 1이 ‘보’를 선택할 확률

  • 가위바위보 게임에서 경기자 1의 혼합전략

    • \(p = 1,\ q = 0\) : 경기자 1이 확정적으로 ‘가위’를 선택

    • \(p = \frac{1}{3},\ q = \frac{1}{3}\) : {가위, 바위, 보}에서 제비를 뽑아 선택

    • \(p = \frac{2}{3},\ q = \frac{1}{3}\): {가위, 가위, 바위}에서 제비를 뽑아 선택

    • \(p = 0,q = 0\): 경기자 1이 확정적으로 ‘보’를 선택

  • 경기자 1의 확률분포를 고려한 경기자 2의 기대보수

    • 경기자 2가 ‘가위’를 선택하면?

      \[\begin{align} E\left\lbrack u_{2}( \cdot , \text{가위}) \right\rbrack & = p \times u_{2}(\text{가위},\text{가위}) \\ & + q \times u_{2}(\text{바위}, \text{가위}) \\ & + (1 - p - q) \times u_{2}(\text{보},\text{가위}) \\ & = p \times (0) + q \times ( - 1) + (1 - p - q) \times (1) \\ & = - p - 2q + 1 \end{align}\]

    • 경기자 2가 ‘바위’를 선택하면?

      \[\begin{align} E\left\lbrack u_{2}( \cdot , \text{바위}) \right\rbrack & = p \times u_{2}(\text{가위},\text{바위}) \\ & + q \times u_{2}(\text{바위}, \text{바위}) \\ & + (1 - p - q) \times u_{2}(\text{보},\text{바위}) \\ & = p \times (1) + q \times (0) + (1 - p - q) \times ( - 1) \\ & = 2p + q - 1 \end{align}\]

    • 경기자 2가 ‘보’를 선택하면?

      \[\begin{align} E\left\lbrack u_{2}( \cdot , \text{보}) \right\rbrack & = p \times u_{2}(\text{가위},\text{보}) \\ & + q \times u_{2}(\text{바위}, \text{보}) \\ & + (1 - p - q) \times u_{2}(\text{보},\text{보}) \\ & = p \times ( - 1) + q \times (1) + (1 - p - q) \times (0) \\ & = - p + q \end{align}\]

  • 경기자 2의 기대보수를 같게 하는 경기자 1의 확률분포

    • (경기자 2가 ‘가위’를 선택할 때 기대보수)

      \(=\) (경기자 2가 ‘바위’를 선택할 때 기대보수)

      \(=\) (경기자 2가 ‘보’를 선택할 때 기대보수)

    \[\begin{align} - p - 2q + 1 & = 2p + q - 1 \rightarrow 3p + 3q = 2 \\ 2p + q - 1 & = - p + q \rightarrow 3p = 1 \\ \therefore p^{*} & = \frac{1}{3},\,\, q^{*} = \frac{1}{3} \end{align}\]

  • 가위바위보 게임의 혼합전략 내쉬균형 해석

    • 경기자 1:

      ‘가위’ 선택 확률 \(p^{*} = \frac{1}{3}\)

      ‘바위’ 선택 확률 \(q^{*} = \frac{1}{3}\)

      ‘보’ 선택 확률 \(1 - p^{*} - q^{*} = \frac{1}{3}\)

      {가위, 바위, 보} 제비가 같은 비율로 섞인 주머니에서 무작위로 하나의 제비를 추출하여 제비에 적힌 대로 실행

    • 보수표가 대칭이므로, 경기자 2의 확률도 동일

    • 순수전략의 조합

      (가위, 가위); (가위, 바위); (가위, 보);

      (바위, 가위); (바위, 바위); (바위, 보);

      (보, 가위); (보, 바위); (보, 보)가 각각 \(\frac{1}{9}\) 확률로 실현

    • 9가지 순수전략의 조합 중에서 무엇이 실현될지는 사전적으로 알 수 없음

    • 혼합전략 내쉬균형에서, 선택가능한 전략 조합은 같은 수준의 기대보수(가위바위보 게임에서는 ‘0’)를 제공

요약

  • 가위바위보 게임은 순수전략 내쉬균형이 존재할까?

    • 순수전략 내쉬균형이 존재하지 않음

    • 모든 순수전략 조합에서 전략을 바꿀 유인이 존재

  • 가위바위보 게임의 혼합전략 내쉬균형은 무엇일까?

    • ‘가위’, ‘바위’, ‘보’을 각각 \(\frac{1}{3}\) 확률로 무작위 선택

  • 가위바위보 게임의 혼합전략 내쉬균형은 어떻게 구현할까?

    • 같은 비율로 섞인 제비, 삼등분 주사위 등

정리하기

  • 순수전략 내쉬균형이 존재하지 않는 게임도 존재

  • 혼합전략은 합리화전략(순수전략)이 선택될 확률의 분포를 부여한 전략

  • 혼합전략 내쉬균형을 따르면, 사전적으로 계산되는 경기자의 기대보수는 같은 수준에서 결정