전개형 게임
1. 전개형 게임의 개념
학습목표
다음 질문에 대해 답을 할 수 있다.
전개형 게임의 게임나무는 어떻게 구성될까?
전개형 게임에서 정보의 종류는 어떻게 구분될까?
정보집합은 무엇이며, 어떻게 표현할까?
다음 문제를 생각해보자.
정규형 게임을 전개형 게임으로 변환할 때 고려사항은?
전개형 게임으로 표현될 수 있는 상황은?
★ 핵심만 쏙쏙!
전개형 게임에서는 ‘순서’와 ‘정보’를 게임나무에 반영하자!
전개형 게임의 구성
전개형 게임(Extensive-form Game)
선택의 순서가 포함되어 나무(tree) 형태로 표현된 게임
경기자, 경기자가 전략을 선택하는 순서
정보의 종류
완전정보/불완전정보(perfect/imperfect information)
완비정보/미비정보(complete/incomplete information)
전략: 예상되는 미래 상황에 대한 완전한 행동 계획(action plan)
전략 조합에 따른 게임의 결과와 보수
게임나무(Game Tree)
뿌리마디(root node)를 가진 방향 그래프*(directed graph)
마디(node, vertex) 집합 \(V\)
뿌리마디 \(v^{0} \in V\): “자연”(nature) 등에 의한 게임의 시작
의사결정 마디 집합 \(V_{i} \subseteq V\): 경기자 \(i\)가 행동을 선택하는 상황
결과 마디(leaf node, terminal node) \(O \subseteq V\):
각 경기자의 전략에 따른 게임의 결과와 보수가 결정되는 상황
가지(directed arc/edge/link) 집합 \(E\)
- 특정 마디에서 경기자가 선택할 수 있는 행동에 대응
전개형 게임의 예시: 죄수의 딜레마
정규형 ‘죄수의 딜레마’를 전개형 게임으로 정의 및 표현 가능
정규형 게임으로서 죄수의 딜레마
경기자: 검거되어 독방에서 취조를 받고 있는 두 용의자
전략 집합: {자백, 부인}
보수표(payoff table)
게임나무로 표현된 죄수의 딜레마
전개형 게임과 정보
정보의 종류
완전정보 vs. 불완전정보(perfect information vs. imperfect information)
경기자가 전략을 선택할 때, 게임의 구성과 선택 상황이전까지 발생한 모든 사건을 정확하게 인지하고,
인지한 정보를 활용하여 전략을 선택할 수 있는지를 기준으로 완전정보와 불완전정보를 구분
완전정보 게임 예시: 바둑, 체스
불완전정보 게임 예시: ‘히든’ 카드를 사용하는 포커
완비정보 vs. 미비정보(complete information vs. incomplete information)
다른 경기자의 특성 또는 유형을 정확하게 인지하거나 그에 영향을 받는 다른 경기자의 보수를 정확하게 알고 있는지에 따라 완비정보와 미비정보를 구분
완비정보 게임 예시: 체스, 가위바위보
미비정보 게임 예시: 경매, 신호(signaling) 게임
전개형 게임에서 정보의 표현
완전정보 또는 완비정보
이전까지 모든 사건과 이에 따른 보수를 명확하게 인지
게임나무에서 경기자의 의사결정 마디가 명확하게 구분
불완전정보 또는 미비정보
이전까지 발생한 사건 중 일부를 모르거나 다른 경기자의 특성 또는 유형을 구분하지 못하는 상태
정보집합(information set)으로 표현:
게임나무에서 경기자 구분하지 못하는 의사결정 마디
전개형 게임과 정규형 게임의 관계
불완전정보 게임으로서 죄수의 딜레마
용의자 1과 용의자 2는 서로 분리되어 의사소통이 불가
다른 용의자의 행동을 인지하지 못하므로 정보집합으로 표현
완전정보 게임으로서 죄수의 딜레마
용의자 2는 용의자 1이 어떤 행동을 했는지 관찰 가능
용의자 2는 각 마디에서 취할 행동의 순서쌍 결정이 필요
요약
전개형 게임의 게임나무는 어떻게 구성될까?
방향 그래프로서 마디 집합, 가지 집합, 보수로 구성
마디 집합은 뿌리마디, 의사결정 마디, 결과 마디로 분할
전개형 게임에서 정보의 종류는 어떻게 구분될까?
- 완전정보/불완전정보, 완비정보/미비정보
정보집합은 무엇이며, 어떻게 표현할까?
- 불완전 and/or 미비정보를 표현, 마디를 점선 연결
2. 역진귀납법
학습목표
다음 질문에 대해 답을 할 수 있다.
역진귀납법은 게임나무의 어떤 마디에서 시작할까?
역진귀납법을 적용할 수 있는 조건은 무엇인가?
완전정보 ‘죄수의 딜레마’ 게임의 균형은?
다음 문제를 생각해보자.
역진귀납법으로 발견한 균형은 어떻게 해석할까?
역진귀납법을 적용하지 못할 때는 어떻게 해야 할까?
★ 핵심만 쏙쏙!
역진귀납법은 결과를 관찰하고 순서를 거꾸로!
역진귀납법의 개념
역진귀납법(Backward Induction)
전개형 게임에서 경기자가 전략을 선택하는 순서를 거꾸로 적용하여 각 의사결정 마디에서 경기자의 전략을 파악
각 결과 마디에 이웃하는 의사결정 마디에서부터 게임나무를 거슬러 올라가면서 각 마디에서 전략을 선택
역진귀납법을 적용할 수 있는 조건
유한한(finite) 단계로 구성된 전개형 게임
무한히 반복 또는 무한대의 선택지를 가지면?
\(\rightarrow\) 결과마디를 특정할 수 없으므로 역진귀납법 적용 불가
게임의 진행 과정과 결과가 모든 경기자에게 완전히 공개
\(\rightarrow\) 완전정보 & 완비정보 상태에서 적용이 가능
모든 경기자가 “합리적”으로 행동한다고 가정
각 경기자는 자신의 이익 극대화를 추구
전략을 선택할 다른 경기자의 이익을 고려하지 않음
역진귀납법의 적용
진입-저지 게임(Entry-Deterrence Game)
경기자
경기자 1: 시장에 새롭게 진입하려는 기업(Entrant)
경기자 2: 시장에 기존부터 존재하던 기업(Incumbent)
전략 집합
경기자 1: {진입, 포기}
경기자 2:
경기자 1이 ‘진입’하면 {수용, 출혈경쟁}
경기자 1이 ‘포기’하면 특별한 행동을 선택하지 않음
게임나무
진입-저지 게임에 적용
단계 1: 경기자 2의 {수용, 출혈경쟁} 중 ‘수용’ 선택
\(u_{2}\)(진입,수용) \(= 4 \geq u_{2}\)(진입,출혈경쟁) \(= 3\)
단계 2: 경기자 2의 ‘수용’ 선택을 가정하여 게임나무 단순화
\(\rightarrow\) 경기자 1이 ‘진입‘을 선택하면? 결과 마디의 보수 2,4
단계 3: 경기자 1이 {진입, 포기} 중 ‘진입’ 선택
\(u_{1}\)(진입,\(\cdot\)) \(= 2 \geq u_{1}\)(포기,\(\cdot\)) \(= 0\)
내쉬균형
경기자 1: ‘진입’을 선택
경기자 2: 경기자 1이 ‘진입’하면 ‘수용’을 선택
균형 보수
\(u_{1}\)(진입,수용) \(= 2\)
\(u_{2}\)(진입,수용) \(= 4\)
완전정보 게임으로서 죄수의 딜레마에 적용
용의자 2는 용의자 1이 어떤 행동을 했는지 관찰 가능
용의자 2는 각 마디에서 취할 행동의 순서쌍 결정이 필요
단계 1: 용의자 1이 ‘자백’을 선택하는 걸 관찰한 후 용의자 2가 {자백, 부인} 중 ‘자백’을 선택
\(u_{2}\)(자백,자백) \(= - 3 \geq u_{2}\)(자백,부인) \(= - 10\)
선택을 반영하여 게임나무 간소화
단계 2: 용의자 1이 ‘부인’을 선택하는 걸 관찰한 후 용의자 2가 {자백, 부인} 중 ‘자백’을 선택
\(u_{2}\)(부인,자백) \(= 0 \geq u_{2}\)(부인,부인) \(= - 1\)
선택을 반영하여 게임나무 간소화
단계 3: 용의자 1이 {자백, 부인} 중 ‘자백’ 선택
\(u_{1}\)(자백,자백) \(= - 3 \geq u_{1}\)(부인,자백) \(= - 10\)
내쉬균형
경기자 1: ‘자백’을 선택
경기자 2: (자백, 자백)
경기자 1이 ‘자백’하면 ‘자백’을 선택,
경기자 1이 ‘부인’하면 ‘자백’을 선택
균형 보수
\(u_{1}\left( \text{자백;(자백,자백)} \right) = - 3\) \(\)
\(u_{2}\left( \text{자백;(자백,자백)} \right) = - 3\) \(\)
요약
역진귀납법은 게임나무의 어떤 마디에서 시작할까?
게임나무의 결과 마디에서부터 시작
경기자의 행동 선택 순서를 거꾸로 적용
역진귀납법을 적용할 수 있는 조건은 무엇인가?
- 유한한 게임 단계, 완전한 정보, 합리성 가정
완전정보 ‘죄수의 딜레마’ 게임의 균형은?
- 두 용의자 모두 ‘자백‘하는 것이 여전히 균형!
3. 부분게임완전균형
학습목표
다음 질문에 대해 답을 할 수 있다.
전개형 게임의 부분게임은 무엇일까?
부분게임완전균형은 어떤 조건을 충족해야 할까?
부분게임완전균형은 어떻게 구할 수 있을까?
다음 문제를 생각해보자.
부분게임완전이 아닌 균형은 존재할까?
현실에서 부분게임완전균형을 어떻게 해석해야 할까?
★ 핵심만 쏙쏙!
부분게임완전균형은 모든 부분게임에서 내쉬균형 조건을 만족!
부분게임완전균형의 개념
부분게임(subgame)
전개형 게임의 일부
하나의 의사결정 마디와 그 마디의 후속마디(successors)를 모두 포함하여 구성된 전개형 게임
최초 의사결정 마디를 제외한 하나의 의사결정 마디
부분게임을 정의할 때 정보집합은 분할되면 안됨
부분게임의 예시 1
불완전정보 게임으로서 죄수의 딜레마 \(\rightarrow\) 전체 게임만 존재
최초 의사결정 마디를 제외하면 단일 의사결정마디 없음
부분게임의 예시 2
완전정보 게임으로서 죄수의 딜레마: 전체 게임과 2개 부분게임이 존재
용의자 1이 ‘자백’을 선택한 이후, 용의자 1이 ‘부인’을 선택한 이후
부분게임완전균형(subgame-perfect (Nash) equilibrium)
모든 부분게임에서 내쉬균형이기 위한 조건을 충족시키는 경기자의 각 정보집합에서 결정된 행동 선택의 조합
모든 부분게임에서 경기자가 전략을 변경할 유인이 없는 상태
부분게임완전균형의 계산
진입-저지 게임
부분게임: 전체 게임과 경기자 2가 결정하는 부분게임
내쉬균형: 경기자 1은 ‘진입’, 경기자 2는 ‘수용’ \(\rightarrow\) (진입, 수용)
부분게임에서 경기자 2가 ‘수용’을 선택?
\(\rightarrow\) 경기자 2는 전략을 변경할 유인이 없음
전체 게임에서 경기자 1가 ‘진입’을 선택?
\(\rightarrow\) 경기자 1은 전략을 변경할 유인이 없음
(진입, 수용)은 모든 부분게임에서 전략을 변경할 유인 없음
(진입, 수용)은 진입-저지 게임의 유일한 부분게임완전균형
부분게임완전균형의 적용
순차적 성대결게임(Sequential Battle-of-the-sexes game)
경기자: 데이트 장소를 정하려는 두 데이트 메이트(DM)
전략 결정 순서:
DM 1 장소 결정 및 이동 \(\rightarrow\) DM 2 장소 결정 및 이동
보수표
게임나무로 표현
전체 게임과 DM 2가 결정해야 하는 부분게임이 존재
순차적 성대결게임에 역진귀납법 적용
단계 1-1: DM 2가 {야구장, 콘서트장} 중 ‘야구장‘ 선택
단계 1-2: DM 2가 {야구장, 콘서트장} 중 ‘콘서트장’ 선택
단계 2: DM 1이 {야구장, 콘서트장} 중 ‘야구장’ 선택
내쉬균형: (야구장; (야구장, 콘서트장))
결과: 야구장에 만나서 데이트
균형 보수
\(u_{1}\left( \text{야구장; (야구장, 콘서트장)} \right) = 5\) \(\)
\(u_{2}\left( \text{야구장; (야구장, 콘서트장)} \right) = 2\) \(\)
(야구장; (야구장, 콘서트장))은 부분게임완전?
\(\rightarrow\) 모든 부분게임에서 전략을 변경할 유인이 없음!
순차적 성대결게임의 부분게임완전이 아닌 균형
DM 1은 무조건 DM 2가 선호하는 ‘콘서트장’ 선택
이를 관찰한 DM 2은 (콘서트장, 콘서트장) 선택
결과: ‘콘서트장’에서 만나서 데이트
\(u_{1}\left( \text{콘서트장; (콘서트장, 콘서트장)} \right) = 2\) \(\)
\(u_{2}\left( \text{콘서트장; (콘서트장, 콘서트장)} \right) = 5\) \(\)
DM 1이 ‘야구장’을 선택한 부분게임에서 DM 2가 ‘야구장’으로 바꿀 유인이 존재
\(\rightarrow\) 부분게임완전이 아닌 균형!
요약
전개형 게임의 부분게임은 무엇일까?
- 전개형 게임의 단일 의사결정 마디와 그 후속 마디로 구성될 수 있는 게임
부분게임완전균형은 어떤 조건을 충족해야 할까?
- 모든 부분게임에서 전략을 변경할 유인이 없음!
부분게임완전균형은 어떻게 구할 수 있을까?
- 역진귀납법을 적용하여 도출 가능
정리하기
전개형 게임은 경기자, 전략 결정 순서, 정보 등이 주어진 게임의 형태로 정규형 게임으로 전환 가능
역진귀납법은 전개형 게임에서 균형을 찾는 방법
부분게임완전균형은 역진귀납법을 적용해서 찾은 균형으로 모든 부분게임에서 내쉬균형 조건을 충족