전개형 게임의 응용
1. 선점 효과 복점 모형
학습목표
다음 질문에 대해 답을 할 수 있다.
선도자와 추종자를 구분하는 기준은 무엇일까?
선점 효과를 반영하기 위해어떤 모형에 어떤 가정을 추가/완화해야 할까?
선점했을 때 차이는 어느 정도일까?
다음 문제를 생각해보자.
- 과점 시장에서 선도 효과는 어떻게 반영될까?
★ 핵심만 쏙쏙!
선점 효과는 최적 대응으로 고정하여 반영!
선점 효과를 반영한 복점 모형
선점 효과를 고려하지 않은 모형: 쿠르노 복점 모형
두 기업이 제품을 공급하는 과점인 복점에서 생산량으로 경쟁하는 상황을 모형화
경쟁의 결과 및 영향, 담합의 안정성 등 설명 가능
쿠르노 복점 모형의 가정
시장의 역수요함수 (단, \(a > 0\)는 시장 규모)
\[P = a - Q\]시장의 공급량
\[Q = q_{1} + q_{2}\]기업 \(i\)는 이윤 \(\pi_{i}\) 극대화를 위해 공급량 \(q_{i}\)를 결정
선점 효과(First-mover’s Advantage)
쿠르노 복점 모형에서는 두 기업이 생산량을 동시에 결정
현실적으로 두 기업의 생산량 결정 시점에 차이 존재 가능
두 기업의 교섭력(bargaining power) 차이로 인해 생산량 결정에 대한 우선순위에 차이가 존재 가능
선도자와 추종자
선도자(leader): 먼저 생산량 결정 또는 더 큰 교섭력
추종자(follower): 나중에 생산량 결정 또는 더 작은 교섭력
선점 효과를 반영한 모형: 스타켈버그(Stackelberg, 1934) 복점 모형
쿠르노 복점 모형의 가정에 생산량 결정 순서를 반영
선도자(기업 1)가 생산량을 먼저 결정
추종자(기업 2)는 선도자의 생산량 결정에 최적으로 대응
선도자와 추종자의 생산량의 합으로 시장 생산량 결정
시장의 역수요함수 \(P = a - Q\) (단, \(a > 0\)는 시장 규모)에 따라 시장 청산 가격(market-clearing price) 및 이윤 결정
스타켈버그(Stackelberg, 1934) 복점 모형의 게임나무
연속적인 생산량을 부채꼴 모양으로 표현
게임의 진행 순서
기업 1(선도자)이 생산량 \(q_{1}\) 결정
기업 1의 생산량 \(q_{2}\) 관찰 후 기업 2(추종자)가 생산량 \(q_{2}\) 결정
시장 생산량 \(Q = q_{1} + q_{2}\)에 따라 시장 청산 가격과 각 기업의 이윤 결정
선점 효과를 반영한 복점 모형의 균형
모형의 풀이
역진귀납법을 적용하여 게임 순서의 역순으로 풀이
기업 2의 이윤 (여기에서, \(c\)는 생산의 평균 비용이자 한계 비용)
\[\pi_{2} = Pq_{2} - cq_{2} = (P - c)q_{2}\]시장의 역수요 함수(\(P = a - Q\))를 \(\pi_{2}\)에 대입
\[\begin{align} \pi_{2} & = \left\lbrack (a - Q) - c \right\rbrack q_{2} \\ & = \left\lbrack \left( a - \left( q_{1} + q_{2} \right) - c \right) \right\rbrack q_{2} \\ & = \left\lbrack a - c - q_{1} - q_{2} \right\rbrack q_{2} \end{align}\]\(\pi_{2}\)을 최대화하는 생산량 \(q_{2}\)를 결정
일계조건(First-order condition) \(\left. \ \frac{\partial\pi_{2}}{\partial q_{2}} \right\vert_{q_2 = \widetilde{q_2}} = 0\)
\[\begin{align} \frac{\partial\pi_{2}}{\partial q_{2}} & = - q_{2} + \left\lbrack a - c - q_{1} - q_{2} \right\rbrack \\ & = a - c - q_{1} - 2q_{2} \\ \left. \ \frac{\partial\pi_{2}}{\partial q_{2}} \right\vert_{q_2 = \widetilde{q_2}} & = 0 \\ \rightarrow \widetilde{q_{2}} & = \frac{a - c - q_{1}}{2} \end{align}\]기업 1의 생산량에 대한 기업 2의 최적 대응
이계조건(Second-order condition) \(\left. \ \frac{\partial^{2}\pi_{2}}{\partial q_{2}^{2}} \right\vert_{q_2 = \widetilde{q_2}} \leq 0\)
\[\begin{align} \frac{\partial^{2}\pi_{2}}{\partial q_{2}^{2}} & = \frac{\partial}{\partial q_{2}}\left( \frac{\partial\pi_{2}}{\partial q_{2}} \right) \\ & = \frac{\partial}{\partial q_{2}}\left( a - c - q_{1} - 2q_{2} \right) \\ & = - 2 \leq 0 \end{align}\]
기업 1의 이윤 (여기에서, \(c\)는 생산의 평균 비용이자 한계 비용)
\[\pi_{1} = Pq_{1} - cq_{1} = (P - c)q_{1}\]시장의 역수요 함수(\(P = a - Q\))를 \(\pi_{1}\)에 대입
\[\begin{align} \pi_{1} & = \left\lbrack (a - Q) - c \right\rbrack q_{1} \\ & = \left\lbrack \left( a - \left( q_{1} + q_{2} \right) - c \right) \right\rbrack q_{1} \\ & = \left\lbrack a - c - q_{1} - q_{2} \right\rbrack q_{1} \end{align}\]\(\pi_{1}\)에 기업 2의 최적 대응(\(\widetilde{q_{2}} = \frac{a - c - q_{1}}{2}\))을 대입
\[\widetilde{\pi_{1}} = \left\lbrack a - c - q_{1} - \left( \frac{a - c - q_{1}}{2} \right) \right\rbrack q_{1} = \left( \frac{a - c - q_{1}}{2} \right)q_{1}\]기업 2의 최적 대응을 반영한 상태에서 계산한 기업 1의 이윤 \(\widetilde{\pi_{1}}\)을 최대화하는 생산량 \(q_{1}\)을 결정
일계조건(First-order condition) \(\left. \ \frac{\partial\widetilde{\pi_{1}}}{\partial q_{1}} \right\vert_{q_1 = \widehat{q_1}} = 0\)
\[\begin{align} \frac{\partial\widetilde{\pi_{1}}}{\partial q_{1}} & = - \frac{q_{1}}{2} + \frac{a - c - q_{1}}{2} \\ & = \frac{a - c}{2} - q_{1} \\ \left. \ \frac{\partial\widetilde{\pi_{1}}}{\partial q_{1}} \right\vert_{q_1 = \widehat{q_1}} & = 0 \\ \rightarrow \widehat{q_{1}} & = \frac{a - c}{2} \end{align}\]이계조건(Second-order condition) \(\left. \ \frac{\partial^{2}\widetilde{\pi_{1}}}{\partial q_{1}^{2}} \right\vert_{q_1 = \widehat{q_1}} \leq 0\)
\[\begin{align} \frac{\partial^{2}\widetilde{\pi_{1}}}{\partial q_{1}^{2}} & = \frac{\partial}{\partial q_{1}}\left( \frac{\partial\widetilde{\pi_{1}}}{\partial q_{1}} \right) \\ & = \frac{\partial}{\partial q_{1}}\left( \frac{a - c}{2} - q_{1} \right) \\ & = - 1 \leq 0 \end{align}\]
모형의 균형
균형 생산량
기업 1의 균형 생산량
\[\widehat{q_{1}} = \frac{a - c}{2} = \frac{1}{2}(a - c)\]기업 2의 균형 생산량
\[\widehat{q_{2}} = \frac{a - c}{4} = \frac{1}{4}(a - c)\](기업 2의 최적 대응 \(\widetilde{q_{2}} = \frac{a - c - q_{1}}{2}\)에 \(q_{1} = \frac{a - c}{2}\)을 대입)
시장의 균형 생산량
\[\widehat{Q} = \widehat{q_{1}} + \widehat{q_{2}} = \frac{3}{4}(a - c)\]
균형 가격
\[\widehat{P} = a - \widehat{Q} = a - \frac{3}{4}(a - c) = \frac{a + 3c}{4}\]균형 이윤
기업 1의 균형 이윤
\[\widehat{\pi_{1}} = \left( \widehat{P} - c \right)\widehat{q_{1}} = \left\lbrack \left( \frac{a + 3c}{4} \right) - c \right\rbrack\left\lbrack \frac{1}{2}(a - c) \right\rbrack = \frac{1}{8}(a - c)^{2}\]기업 2의 균형 이윤
\[\widehat{\pi_{2}} = \left( \widehat{P} - c \right)\widehat{q_{2}} = \left\lbrack \left( \frac{a + 3c}{4} \right) - c \right\rbrack\left\lbrack \frac{1}{4}(a - c) \right\rbrack = \frac{1}{16}(a - c)^{2}\]
요약
선도자와 추종자를 구분하는 기준은 무엇일까?
- 생산량을 결정하는 순서, 기업간 교섭력 차이 등
선점 효과를 반영하기 위해 어떤 모형에 어떤 가정을 추가/완화해야 할까?
- 쿠르노 모형에서 생산량 동시 결정 가정을 완화
선점했을 때 차이는 어느 정도일까?
- 선점하게 되면 균형 생산량 2배, 균형 이윤도 2배
2. 선점 효과의 측정
학습목표
다음 질문에 대해 답을 할 수 있다.
스타켈버그 균형은 부분게임완전균형일까?
선도 생산량이 동시 생산량보다 더 많을까?
선도자와 추종자를 선택하는 게임에서 균형은?
다음 문제를 생각해보자.
- 두 기업 모두 선도자이길 선택한다면 어떤 결과가 있을까? 왜 그런 결과로 귀결될까?
★ 핵심만 쏙쏙!
‘선도자’ 전략을 선택하기 위해 선점 효과 측정이 필요!
선점 효과를 반영한 모형의 균형
스타켈버그 모형의 균형
균형 생산량
기업 1의 균형 생산량
\[\widehat{q_{1}} = \frac{a - c}{2} = \frac{1}{2}(a - c)\]기업 2의 균형 생산량
\[\widehat{q_{2}} = \frac{a - c}{4} = \frac{1}{4}(a - c)\]
부분게임완전내쉬균형? YES!
기업 1의 생산량에 따른 기업 2의 최적 대응을 고려
기업 2는 최적 대응을 따르면 생산량 변경할 유인 없음!
다시 한번 기업 1의 최적 생산량을 구했으므로 균형!
다른 균형은 없을까?
기업 2의 최적 대응(\(\widetilde{q_{2}} = \frac{a - c - q_{1}}{2}\))을 만족시키는 모든 생산량의 조합은 내쉬균형에 해당
기업 1의 생산량
\[q_{1} = \frac{2}{3}(a - c)\]기업 2의 생산량
\[q_{2} = \frac{a - c - \frac{2}{3}(a - c)\ }{2} = \frac{1}{6}(a - c)\]
선점 효과와 동시 결정의 비교
스타켈버그 복점 모형의 균형
각 기업의 스타켈버그 균형 생산량
기업 1의 스타켈버그 균형 생산량
\[\widehat{q_{1}} = \frac{1}{2}(a - c)\]기업 2의 스타켈버그 균형 생산량
\[\widehat{q_{2}} = \frac{1}{4}(a - c)\]
각 기업의 스타켈버그 균형 이윤
기업 1의 스타켈버그 균형 이윤
\[\widehat{\pi_{1}} = \frac{1}{8}(a - c)^{2}\]기업 2의 스타켈버그 균형 이윤
\[\widehat{\pi_{2}} = \frac{1}{16}(a - c)^{2}\]
쿠르노 복점 모형의 균형
각 기업의 쿠르노 균형 생산량
기업 1의 쿠르노 균형 생산량
\[q_{1}^{*} = \frac{1}{3}(a - c)\]기업 2의 쿠르노 균형 생산량
\[q_{2}^{*} = \frac{1}{3}(a - c)\]
각 기업의 쿠르노 균형 이윤
기업 1의 쿠르노 균형 이윤
\[\pi_{1}^{*} = \frac{1}{9}(a - c)^{2}\]기업 2의 쿠르노 균형 이윤
\[\pi_{2}^{*} = \frac{1}{9}(a - c)^{2}\]
균형 생산량 비교
(추종자의 균형 생산량) \(<\) (동시 결정 균형 생산량) \(<\) (선도자의 균형 생산량)
\[\widehat{q_{2}} = \frac{1}{4}(a - c) < q^{*} = \frac{1}{3}(a - c) < \widehat{q_{1}} = \frac{1}{2}(a - c)\]동시 결정 \(\rightarrow\) 선도자가 되었을 때 생산량의 증가
\[\widehat{q_{1}} - q^{*} = \frac{1}{2}(a - c) - \frac{1}{3}(a - c) = \frac{1}{6}(a - c)\]동시 결정 \(\rightarrow\) 추종자가 되었을 때 생산량의 감소
\[q^{*} - \widehat{q_{2}} = \frac{1}{3}(a - c) - \frac{1}{4}(a - c) = \frac{1}{12}(a - c)\]
균형 이윤 비교
(추종자의 균형 이윤) \(<\) (동시 결정 균형 이윤) \(<\) (선도자의 균형 이윤)
\[\widehat{\pi_{2}} = \frac{1}{16}(a - c)^{2} < \pi^{*} = \frac{1}{9}(a - c)^{2} < \widehat{\pi_{1}} = \frac{1}{8}(a - c)^{2}\]동시 결정 \(\rightarrow\) 선도자가 되었을 때 균형 이윤의 증가
\[\widehat{\pi_{1}} - \pi^{*} = \frac{1}{8}(a - c)^{2} - \frac{1}{9}(a - c)^{2} = \frac{1}{72}(a - c)^{2}\]동시 결정 \(\rightarrow\) 추종자가 되었을 때 균형 이윤의 감소
\[\pi^{*} - \widehat{\pi_{2}} = \frac{1}{9}(a - c)^{2} - \frac{1}{16}(a - c)^{2} = \frac{7}{144}(a - c)\]
선도자-추종자가 불분명한 모형
선도자-추종자를 결정하는 게임
경기자: 경쟁관계에 있는 두 기업
전략 집합: {선도, 추종}
보수표
선도자-추종자를 결정하는 게임의 순수전략 균형
동시 선택 정규형 게임으로 간주할 때 내쉬균형
(선도, 추종); (추종; 선도) 두 개의 순수전략 내쉬균형이 존재
선도자-추종자를 결정하는 게임의 혼합전략 균형
기업 1의 확률분포:
\(\Pr\left\{ \text{선도} \right\} = p\), \(\Pr\left\{ \text{추종} \right\} = 1 - p\)
기업 2의 기대보수
기업 2가 ‘선도’를 선택:
\[p \times (0) + (1 - p) \times \frac{(a - c)^{2}}{8} = \frac{(a - c)^{2}}{8} - p \times \frac{(a - c)^{2}}{8}\]기업 2가 ‘추종’을 선택:
\[p \times \frac{(a - c)^{2}}{16} + (1 - p) \times \frac{(a - c)^{2}}{9} = \frac{(a - c)^{2}}{9} - p \times \frac{7(a - c)^{2}}{144}\]
기업 2의 기대보수가 같아지는 확률 계산
\[\begin{align} \frac{(a - c)^{2}}{8} - p \times \frac{(a - c)^{2}}{8} & = \frac{(a - c)^{2}}{9} - p \times \frac{7(a - c)^{2}}{144} \\ \rightarrow \frac{(a - c)^{2}}{72} & = p \times \frac{11(a - c)^{2}}{144} \\ \rightarrow p^{*} & = \frac{2}{11} \end{align}\]기업 1의 혼합전략
\[\left( p^{*},\ 1 - p^{*} \right) = \left( \frac{2}{11},\frac{9}{11} \right)\]기업 2의 혼합전략
\[\left( q^{*},\ 1 - q^{*} \right) = \left( \frac{2}{11},\frac{9}{11} \right)\]사후적으로 각 순수전략 균형이 발생할 확률
\[\begin{align} \Pr\left\{ \text{(선도, 선도)} \right\} & = \frac{2}{11} \times \frac{2}{11} = \frac{4}{121} \\ \Pr\left\{ \text{(선도, 추종)} \right\} & = \Pr\left\{ \text{(추종, 선도)} \right\} = \frac{2}{11} \times \frac{9}{11} = \frac{18}{121} \\ \Pr\left\{ \text{(추종, 추종)} \right\} & = \frac{9}{11} \times \frac{9}{11} = \frac{81}{121} \end{align}\]
요약
스타켈버그 균형은 부분게임완전균형일까?
부분게임에서 생산량을 변경할 유인이 없음
추종자의 최적 대응에 해당하는 생산량은 모두 균형
선도 생산량이 동시 생산량보다 더 많을까? YES!
- 추종 생산량 감소량이 선도 생산량 증가량보다 큼
선도자와 추종자를 선택하는 게임에서 균형은?
- (선도, 추종); (추종, 선도); 혼합전략 \(\left( \frac{2}{11},\frac{9}{11} \right)\)
3. 입지와 가격 결정
학습목표
다음 질문에 대해 답을 할 수 있다.
입지와 가격 결정 게임은 어떤 모형에서 확장될까?
소비자는 어떤 비용을 지불하고 제품을 구입할까?
부분게임완전균형의 입지와 가격은 무엇일까?
다음 문제를 생각해보자.
두 상점의 효율성 차이가 있다면?
상품의 가치가 상수가 아니라 변수라면?
★ 핵심만 쏙쏙!
소비자는 효용이 더 큰 상점을 방문하여 상품을 구매
입지와 가격을 동시에 결정하는 모형 개요
호텔링 모형을 확장
단위 길이(e.g., 1km) 직선 거리로 형성된 도시
\(\rightarrow\) 도시의 왼쪽 경계는 ‘0’, 도시의 오른쪽 경계는 ‘1’
두 상점이 경쟁하기 위한 입지(위치)를 선정한 후 위치를 기준으로 상품에 대한 가격을 결정하는 문제
역진귀납법을 적용하여 게임을 풀이
상점의 위치가 고정된 상태에서 가격(최적 대응)을 결정
가격의 최적 대응을 반영한 후 상점의 입지를 결정
상점의 위치와 관련된 가정
상점 1의 위치 \(a \in \lbrack 0,\ 1\rbrack\), 상점 2의 위치 \(1 - b \in \lbrack 0,\ 1\rbrack\)
상점 1의 위치가 상점 2의 위치보다 왼쪽
\[0 \leq a \leq 1 - b \leq 1 \rightarrow 1 - a - b \geq 0\]상점 \(i\)의 위치가 결정된 이후 같은 상품에 대하여 상점 \(i\)의 단위 판매가격 \(P_{i}\)를 결정
소비자의 구매의사결정에 관한 가정
소비자는 ‘0’과 ‘1’ 사이 직선 도시에 균등분포에 따라 거주
모든 소비자는 상품의 가치를 \(v\)로 평가
각 소비자는 효용이 더 큰 상점을 방문하여 상품을 구입
소비자의 효용
\[u_{c}\left( x,P_{i};\ y_{i} \right) = v - \left( P_{i} + t\left( x - y_{i} \right)^{2} \right)\]소비자의 효용은 ‘0’보다 충분히 큼
\[u_{c}\left( x,P_{i};\ y_{i} \right) \gg 0 \Leftrightarrow v \gg P_{i} + t\left( x_{i} - y_{i} \right)^{2}\]\(\rightarrow\) 소비자는 어느 상점에서든 상품을 구입하는 게 유리
위치를 고정한 상태에서 가격 결정
두 상점이 무차별한 소비자의 위치
상점 1의 위치 \(a \in \lbrack 0,\ 1\rbrack\), 상점 2의 위치 \(1 - b \in \lbrack 0,\ 1\rbrack\)
위치 \(x\)에 거주하는 소비자가 상점 \(i\)에서 상품을 구매한 효용
상점 1에서 상품을 구입한 소비자의 효용
\[u_{c}\left( x,\ P_{1};y_{1} = a \right) = v - \left( P_{1} + t(x - a)^{2} \right)\]상점 2에서 상품을 구입한 소비자의 효용
\[u_{c}\left( x,\ P_{2};y_{2} = 1 - b \right) = v - \left( P_{2} + t\left( x - (1 - b) \right)^{2} \right)\]
‘중위투표자정리’를 확장 \(\rightarrow\) 무차별한 소비자의 위치 결정
무차별한 소비자
\[\begin{align} u_{c}\left( x,\ P_{1};y_{1} = a \right) & = u_{c}\left( x,\ P_{2};y_{2} = 1 - b \right) \\ v - \left( P_{1} + t(x - a)^{2} \right) & = v - \left( P_{2} + t\left( x - (1 - b) \right)^{2} \right) \\ P_{1} + t(x - a)^{2} & = P_{2} + t\left( x - (1 - b) \right)^{2} \\ t\left\{ (x - a)^{2} - \left( x - (1 - b) \right)^{2} \right\} & = P_{2} - P_{1} \\ t(1 - a - b)\left\{ 2x - (1 + a - b) \right\} & = P_{2} - P_{1} \end{align}\]무차별한 소비자의 위치 \(\widetilde{x}\)
\[\begin{align} & t(1 - a - b)\left\{ 2x - (1 + a - b) \right\} = P_{2} - P_{1} \\ & 2x - (1 + a - b) = \frac{P_{2} - P_{1}}{t(1 - a - b)} \\ & 2x = 1 + a - b + \frac{P_{2} - P_{1}}{t(1 - a - b)} \\ & \widetilde{x} = \frac{1 + a - b}{2} + \frac{P_{2} - P_{1}}{2t(1 - a - b)} = a + \frac{1 - a - b}{2} + \frac{P_{2} - P_{1}}{2t(1 - a - b)} \end{align}\]
두 상점의 수요를 계산
\(x \in \left\lbrack 0,\widetilde{x} \right)\)에 거주하는 소비자는 상점 1에서 상품을 구입
상점 1의 수요
\[\begin{align} \widetilde{x} = a + \frac{1 - a - b}{2} + \frac{P_{2} - P_{1}}{2t(1 - a - b)} \end{align}\]\(x \in \left( \widetilde{x},\ 1 \right\rbrack\)에 거주하는 소비자는 상점 2에서 상품을 구입
상점 2의 수요
\[\begin{align} 1 - \widetilde{x} & = 1 - \left\lbrack a + \frac{1 - a - b}{2} + \frac{P_{2} - P_{1}}{2t(1 - a - b)} \right\rbrack \\ & = 1 - a - \frac{1 - a - b}{2} - \frac{P_{2} - P_{1}}{2t(1 - a - b)} \\ & = b + \frac{1 - a - b}{2} + \frac{P_{1} - P_{2}}{2t(1 - a - b)} \end{align}\]
두 상점의 이윤을 계산
상점 1의 이윤
\[\begin{align} \pi_{1}\left( P_{1},\ P_{2} \right) & = \left( P_{1} - c \right)\widetilde{x} \\ & = \left( P_{1} - c \right)\left\lbrack a + \frac{1 - a - b}{2} + \frac{P_{2} - P_{1}}{2t(1 - a - b)} \right\rbrack \end{align}\]상점 2의 이윤
\[\begin{align} \pi_{2}\left( P_{1},\ P_{2} \right) & = \left( P_{2} - c \right)\left( 1 - \widetilde{x} \right) \\ & = \left( P_{2} - c \right)\left\lbrack b + \frac{1 - a - b}{2} + \frac{P_{1} - P_{2}}{2t(1 - a - b)} \right\rbrack \end{align}\]
각 상점의 이윤을 최대화하는 가격 결정
상점 1의 이윤 \(\pi_{1}\)을 가격 \(P_{1}\)으로 편미분 후 일계조건
\[\begin{align} \frac{\partial}{\partial P_{1}}\pi_{1}\left( P_{1},\ P_{2} \right) & = \frac{\partial}{\partial P_{1}}\left( P_{1} - c \right)\left\lbrack a + \frac{1 - a - b}{2} + \frac{P_{2} - P_{1}}{2t(1 - a - b)} \right\rbrack \\ & = \left\lbrack a + \frac{1 - a - b}{2} + \frac{P_{2} - P_{1}}{2t(1 - a - b)} \right\rbrack + \left( P_{1} - c \right)\left( \frac{- 1}{2t(1 - a - b)} \right) \\ & = a + \frac{1 - a - b}{2} + \frac{P_{2} - 2P_{1} + c}{2t(1 - a - b)} \\ \frac{\partial}{\partial P_{1}}\pi_{1}\left( P_{1},\ P_{2} \right) & = 0 \\ \rightarrow \widehat{P_{1}} & = \frac{1}{2}\left\lbrack P_{2} + c + t(1 - a - b)(1 + a - b) \right\rbrack \end{align}\]상점 2의 이윤 \(\pi_{2}\)를 가격 \(P_{2}\)으로 편미분 후 일계조건
\[\begin{align} \frac{\partial}{\partial P_{2}}\pi_{2}\left( P_{1},\ P_{2} \right) & = \frac{\partial}{\partial P_{2}}\left( P_{2} - c \right)\left\lbrack b + \frac{1 - a - b}{2} + \frac{P_{1} - P_{2}}{2t(1 - a - b)} \right\rbrack \\ & = \left\lbrack b + \frac{1 - a - b}{2} + \frac{P_{1} - P_{2}}{2t(1 - a - b)} \right\rbrack + \left( P_{2} - c \right)\left( \frac{- 1}{2t(1 - a - b)} \right) \\ & = b + \frac{1 - a - b}{2} + \frac{P_{1} - 2P_{2} + c}{2t(1 - a - b)} \\ \frac{\partial}{\partial P_{2}}\pi_{2}\left( P_{1},\ P_{2} \right) & = 0 \\ \rightarrow \widehat{P_{2}} & = \frac{1}{2}\left\lbrack P_{1} + c + t(1 - a - b)(1 - a + b) \right\rbrack \end{align}\]상점 1과 상점 2의 최적 대응을 연립하여 균형 가격 결정
상점 1의 최적 대응
\[\widehat{P_{1}} = \frac{1}{2}\left\lbrack P_{2} + c + t(1 - a - b)(1 + a - b) \right\rbrack\]상점 2의 최적 대응
\[\widehat{P_{2}} = \frac{1}{2}\left\lbrack P_{1} + c + t(1 - a - b)(1 - a + b) \right\rbrack\]\(\widehat{P_{2}} \rightarrow \widehat{P_{1}}\left( P_{2} \right)\)에 대입 후 정리
\[\begin{align} 2P_{1} & = \frac{1}{2}\left\lbrack P_{1} + c + t(1 - a - b)(1 - a + b) \right\rbrack + c + t(1 - a - b)(1 + a - b) \\ 4P_{1} & = P_{1} + c + t(1 - a - b)(1 - a + b) + 2c + 2t(1 - a - b)(1 + a - b) \\ 3P_{1} & = 3c + t(1 - a - b)\left( 1 - a + b + 2(1 + a - b) \right) \\ 3P_{1} & = 3c + t(1 - a - b)(3 + a - b) \\ \therefore \widehat{P_{1}} &= c + t(1 - a - b)\left( 1 + \frac{a - b}{3} \right) \end{align}\]\(\widehat{P_{1}} \rightarrow \widehat{P_{2}}\left( P_{1} \right)\)에 대입 후 정리
\[\begin{align} \widehat{P_{2}} & = \frac{1}{2}\left\lbrack P_{1} + c + t(1 - a - b)(1 - a + b) \right\rbrack \\ & = \frac{1}{2}\left\lbrack c + t(1 - a - b)\left( 1 + \frac{a - b}{3} \right) + c + t(1 - a - b)(1 - a + b) \right\rbrack \\ & = \frac{1}{2}\left\lbrack 2c + t(1 - a - b)\left( 2 - \frac{2(a - b)}{3} \right) \right\rbrack \\ \therefore \widehat{P_{2}} & = c + t(1 - a - b)\left( 1 + \frac{b - a}{3} \right) \end{align}\]
균형 가격을 반영한 상점의 이윤 결정
상점 1의 이윤
\[\begin{align} \pi_{1}\left( \widehat{P_{1}}, \widehat{P_{2}} \right) & = \left( \widehat{P_{1}} - c \right)\widetilde{x} \\ & = \left( \widehat{P_{1}} - c \right)\left\lbrack a + \frac{1 - a - b}{2} + \frac{\widehat{P_{2}} - \widehat{P_{1}}}{2t(1 - a - b)} \right\rbrack \\ & = t(1 - a - b)\left( 1 + \frac{a - b}{3} \right)\left\lbrack a + \frac{1 - a - b}{2} + \frac{b - a}{3} \right\rbrack \\ & = t(1 - a - b)\left( 1 + \frac{a - b}{3} \right)\left\lbrack \frac{1}{2} + \frac{a - b}{6} \right\rbrack \\ & = \frac{t}{2}(1 - a - b)\left( 1 + \frac{a - b}{3} \right)^{2} \end{align}\]상점 2의 이윤
\[\begin{align} \pi_{2}\left( \widehat{P_{1}}, \widehat{P_{2}} \right) & = \left( \widehat{P_{2}} - c \right)\left( 1 - \widetilde{x} \right) \\ & = \left( \widehat{P_{2}} - c \right)\left\lbrack b + \frac{1 - a - b}{2} + \frac{\widehat{P_{1}} - \widehat{P_{2}}}{2t(1 - a - b)} \right\rbrack \\ & = t(1 - a - b)\left( 1 + \frac{b - a}{3} \right)\left\lbrack b + \frac{1 - a - b}{2} + \frac{a - b}{3} \right\rbrack \\ & = t(1 - a - b)\left( 1 + \frac{b - a}{3} \right)\left\lbrack \frac{1}{2} + \frac{b - a}{6} \right\rbrack \\ & = \frac{t}{2}(1 - a - b)\left( 1 + \frac{b - a}{3} \right)^{2} \end{align}\]
균형 가격을 반영한 상점의 입지 결정
상점의 이윤을 최대화하는 위치를 결정
상점 1의 이윤 \(\widehat{\pi_{1}} = \frac{t}{2}(1 - a - b)\left( 1 + \frac{a - b}{3} \right)^{2}\)을 위치 \(a\)로 편미분
- \[\begin{align} \frac{\partial\widehat{\pi_{1}}}{\partial a} & = \frac{t}{2}\left\lbrack - \left( 1 + \frac{a - b}{3} \right)^{2} + (1 - a - b) \times \frac{2}{3}\left( 1 + \frac{a - b}{3} \right) \right\rbrack \\ & = - \frac{t}{6}\left( 1 + \frac{a - b}{3} \right)\left\lbrack (3 + a - b) - 2(1 - a - b) \right\rbrack \\ & = - \frac{t}{6}\left( 1 + \frac{a - b}{3} \right)(1 + 3a + b) \leq 0 \end{align}\]
- \(\widehat{\pi_{1}}\)은 \(a\)에 대하여 감소 \(\rightarrow\) \(a^{*} = 0\)일 때 \(\widehat{\pi_{1}}\)이 최대
상점 2의 이윤 \(\widehat{\pi_{2}} = \frac{t}{2}(1 - a - b)\left( 1 + \frac{b - a}{3} \right)^{2}\)을 위치 \(b\)로 편미분
- \[\begin{align} \frac{\partial\widehat{\pi_{2}}}{\partial b} & = \frac{t}{2}\left\lbrack - \left( 1 + \frac{b - a}{3} \right)^{2} + (1 - a - b) \times \frac{2}{3}\left( 1 + \frac{b - a}{3} \right) \right\rbrack \\ & = - \frac{t}{6}\left( 1 + \frac{b - a}{3} \right)\left\lbrack (3 + b - a) - 2(1 - a - b) \right\rbrack \\ & = - \frac{t}{6}\left( 1 + \frac{b - a}{3} \right)(1 + a + 3b) \leq 0 \end{align}\]
- \(\widehat{\pi_{2}}\)은 \(b\)에 대하여 감소 \(\rightarrow\) \(b^{*} = 0\left( 1 - b^{*} = 1 \right)\)일 때 \(\widehat{\pi_{2}}\)이 최대
최적 입지 \(\left( a^{*},\ 1 - b^{*} \right) = (0,\ 1)\)
상점 1의 최적 입지
\(a^{*} = 0\) \(\rightarrow\) 선형도시의 왼쪽 경계
상점 2의 최적 입지
\(1 - b^{*} = 1\) \(\rightarrow\) 선형도시의 오른쪽 경계
최적 입지에서 균형 가격
\[P_{1}^{*} = P_{2}^{*} = c + t\]최적 입지에서 균형 수요
\[x^{*} = 1 - x^{*} = \frac{1}{2}\]최적 입지에서 균형 이윤
\[\pi_{1}^{*} = \pi_{2}^{*} = \frac{t}{2}\]
부분게임완전균형이 가장 ‘효율적인’ 입지인가?
부분게임완전균형에서의 입지: \(\left( a^{*},\ 1 - b^{*} \right) = (0,\ 1)\)
부분게임완전균형에서 소비자가 부담하는 ‘교통비’
\[\int_{0}^{\frac{1}{2}}{t(x - 0)^{2}dx} + \int_{\frac{1}{2}}^{1}{t(1 - x)^{2}dx} = \left. \ \frac{t}{3}x^{3} \right|_{0}^{\frac{1}{2}} + \left. \ \left( - \frac{t}{3}(1 - x)^{3} \right) \right|_{\frac{1}{2}}^{1} = \frac{t}{24} + \frac{t}{24} = \frac{t}{12}\]같은 가격, 대칭적 입지를 가정할 때 소비자가 부담하는 ‘교통비’
\[2\int_{0}^{\frac{1}{2}}{t(x - a)^{2}dx} = \left. \ \frac{2t}{3}(x - a)^{3} \right|_{0}^{\frac{1}{2}} = \frac{2t}{3}\left( \left( \frac{1}{2} - a \right)^{3} - (0 - a)^{3} \right) = \frac{t}{12}\left( 12a^{2} - 6a + 1 \right)\]소비자가 부담하는 ‘교통비’을 최소화하는 입지와 그때 ‘교통비’
- \[\begin{align} \frac{d}{da}\left\lbrack \frac{t}{12}\left( 12a^{2} - 6a + 1 \right) \right\rbrack & = \frac{t}{12}(24a - 6) = 0 \\ \rightarrow \widetilde{a} & = \frac{1}{4}, 1 - \widetilde{b} = \frac{3}{4} \end{align}\]
\(\left( \widetilde{a} = \frac{1}{4},1 - \widetilde{b} = \frac{3}{4} \right)\)에서 소비자 부담 교통비
\[\frac{t}{12}\left( 12\left( \frac{1}{4} \right)^{2} - 6\left( \frac{1}{4} \right) + 1 \right) = \frac{t}{48}\]
요약
입지와 가격 결정 게임은 어떤 모형에서 확장될까?
- 선형도시의 상점 입지를 결정하는 호텔링 모형
소비자는 어떤 비용을 지불하고 제품을 구입할까?
상점까지의 거리의 제곱에 비례하는 일종의 ‘교통비’
‘교통비’와 상품 판매 가격의 합을 지불
부분게임완전균형의 입지와 가격은 무엇일까?
- 선형도시의 양끝점, 원가와 ‘교통비’ 요율의 합
정리하기
선점 효과는 최적 대응을 반영 및 고정하여 계산
선도자, 추종자를 결정하는 전략을 파악하기 위해 선도 효과의 측정과 분석이 필요
입지와 가격을 결정하는 문제는 호텔링 모형을 확장하여 가격에 따른 소비자의 행동을 가정