Skip to main content Link Menu Expand (external link) Document Search Copy Copied
게임이론으로 이해하는 사회 현상

반복게임

  • 지금까지의 분석은 one-shot, 즉 1회 게임

  • 현실 세계에서는 동일한 사람들간의 반복적인 상호작용 발생

  • 반복게임의 필요 요소

  • 지금 당장의 보수와 미래의 보수를 비교

  • 반복게임 전략 비교

반복게임의 요소

  • 핵심만 쏙쏙!

    • 다음 문제에 답을 할 수 있다.

      • 현실 세계의 전략적 상황 \(\rightarrow\) 반복적 상호작용 \(\rightarrow\) 반복게임

      • 합리적 경기자들은 반복되는 상황에서 어떤 전략을 선택하는가?

    • 다음 문제를 생각하자.

      • 게임을 반복할 때 과거 어떤 선택을 했는지 알아야 한다.

      • 게임의 역사와 그에 따른 전략을 고려한다.

반복게임

  • 동일한 단계 게임(Stage game)이 유한번 또는 무한번 반복되는 게임

  • 반복게임은 특수한 형태의 전개형게임

반복게임의 균형

  • 내쉬균형과 하위게임완전균형의 개념이 그대로 적용

  • 처음이건 중간이건 누구도 균형전략에서 이탈하더라도 그 이후의 경로가 모든 경기자들에게 원래대로 지켜질 유인 존재

반복게임의 전략

  • 발생가능한 모든 상황에 있어서 경기자가 취할 행동의 완전한 계획

  • 각 경기자의 전략은 1기에 어떠한 행동을 취할 것인가에 대한 계획 포함

  • 1기에 실현된 결과에 대하여 2기에 어떤 행동으로 대응할 것인가 포함

  • (반복게임) 지나간 과거에 경기자들이 어떠한 선택을 했는지가 중요

  • 반복게임에서의 전략이란 과거 선택한 행동들에 대응하여 수립된 현재의 행동 계획

역사(history)란 무엇인가?

  • 역사(history)

    • 반복게임에서 \(t\)기의 역사(history at period \(t\)}란 1기로부터 \((t-1)\)기까지 경기자들이 선택한 행동들의 기록이다.

    • \(t\)기에 있어서 역사를 \(h^{t}\)라 표기하면, \(h^{t}=(a^{1},~a^{2},~a^{3},\cdots,~a^{t-1})\)이다.

전략 (strategy)이란 무엇인가?

  • 전략(strategy)

    • 반복게임에서 전략이란 1기에 선택하고자 계획된 행동 및 2기 이후에 그 이전의 역사에 대응하여 계획된 행동이다.

    • 경기자 \(i\)의 \(t\)기 전략 \(s_{it}(h^{t})\)는 주어진 \(t\)기의 역사 \(h^{t}\)하에서 경기자 \(i\)가 \(t\)기에 취할 행동을 지정해 주는 함수이다.

1회 게임(one-shot game)

  • Player 1의 행동은 \(\{Up,~Down\}\), Player 2의 행동은 \(\{Left,~Right\}\)

  • 유일한 내쉬균형

  • 내쉬균형은 순수전략 내쉬균형으로 \((Down,~Left)\)

예시표

동일한 게임을 2회 유한 반복

  • Player 1의 행동은 \(\{Up,~Down\}\), Player 2의 행동은 \(\{Left,~Right\}\)

  • 1기 단계 게임의 역사 \((Up,~Right)\) \(\rightarrow\) 보수 \((1,~2)\)

  • 2기 단계 게임의 내쉬균형은 순수전략 내쉬균형으로 \((Down,~Left)\)

  • 1기 단계 게임이 균형에서 이탈하더라도 2기 단계 게임에서는 균형으로 회귀

예시표

예시표

  • 1기 단계 게임 역사 \((Down,~Right)\) \(\rightarrow\) 보수 \((2,~-2)\)

  • 2기 단계 게임의 내쉬균형은 순수전략 내쉬균형으로 \((Down,~Left)\)

  • 1기 단계 게임이 균형에서 이탈하더라도 2기 단계 게임에서는 균형으로 회귀

예시표

예시표

동일한 게임을 \(T\)회 유한 반복

  • Player 1의 행동은 \(\{Up,~Down\}\), Player 2의 행동은 \(\{Left,~Right\}\)

  • \((T-1)\)기까지의 정보 $\rightarrow$ \(T\)기의 역사 \(h^{T}\) $\rightarrow$ 보수 \((R_{1},~R_{2})\)

  • \(T\)기 단계 게임의 내쉬균형은 순수전략 내쉬균형으로 \((Down,~Left)\)

  • 하위게임완전균형을 적용하면 모든 기의 순수전략 내쉬균형은 \((Down,~Left)\)

예시표

예시표

응용해 봅시다.

  • 가위-바위-보 게임의 2회 반복

    • 1기 단계 게임의 순수전략 내쉬균형은 존재하지 않는다.

    • 내쉬균형은 혼합전략 내쉬균형으로 순수혼합전략 내쉬균형이다.

    \[\left(\frac{1}{3}\text{가위}+\frac{1}{3}\text{바위}+\frac{1}{3}\text{보},~\frac{1}{3}\text{가위}+\frac{1}{3}\text{바위}+\frac{1}{3}\text{보}\right)\]

    예시표

    • 1기 단계 게임의 역사는 각 경기자의 비균형 전략 (바위, 가위)

    • 2기 단계 게임 내쉬균형은 혼합전략 내쉬균형으로 순수혼합전략 내쉬균형이다.

    \[\left(\frac{1}{3}\text{가위}+\frac{1}{3}\text{바위}+\frac{1}{3}\text{보},~\frac{1}{3}\text{가위}+\frac{1}{3}\text{바위}+\frac{1}{3}\text{보}\right)\]

    예시표

    • 1기 단계 게임의 역사는 각 경기자의 비균형 전략 (가위, 바위)

    • 2기 단계 게임 내쉬균형은 혼합전략 내쉬균형으로 순수혼합전략 내쉬균형이다.

    \[\left(\frac{1}{3}\text{가위}+\frac{1}{3}\text{바위}+\frac{1}{3}\text{보},~\frac{1}{3}\text{가위}+\frac{1}{3}\text{바위}+\frac{1}{3}\text{보}\right)\]

    예시표

  • 가위-바위-보 게임의 \(T\)회 반복

    • \((T-1)\)기까지의 정보 $\rightarrow$ \(T\)기의 역사 \(h^{T}\) \(\rightarrow\) 보수 \((R_{1},~R_{2})\)

    • \(T\)기 단계 게임의 내쉬균형은 순수혼합전략 내쉬균형

    • 하위게임완전균형을 적용하면 모든 기의 순수혼합전략 내쉬균형

    \[\left(\frac{1}{3}\text{가위}+\frac{1}{3}\text{바위}+\frac{1}{3}\text{보},~\frac{1}{3}\text{가위}+\frac{1}{3}\text{바위}+\frac{1}{3}\text{보}\right)\]

    예시표

유한반복게임

  • 핵심만 쏙쏙!

    • 다음 문제에 답을 할 수 있다.

      • 현실 세계 전략적 상황 \(\rightarrow\) 반복적 상호작용 $$\rightarrow$ 유한번$ 반복게임

      • 합리적 경기자들은 어떤 전략을 선택하는가?

    • 다음 문제를 생각하자.

      • 죄인의 딜레마를 반복하자.

      • 반복 게임의 균형으로서, 죄인의 딜레마 내쉬균형은 무엇인가?

      • 반복게임의 하위게임 완전균형은 무엇인가?

      • 유한번 \(T\)회 반복 죄인의 딜레마 균형은 무엇인가?

      • 유한번 반복하는 Cournot 균형은 무엇인가?

반복게임

  • 내쉬균형

  • 하위게임 완전균형

  • 죄인의 딜레마

    예시표

죄인의 딜레마

  • 1회 게임(one-shot game) 내쉬균형 \(\rightarrow\) \((D,~D)\)

    예시표

  • 죄인의 딜레마 2회 반복

    • 1기 단계 게임의 결과, 즉 2기의 역사 \(h^{2}\)가 \((C,~D)\)라고 하자.

    • 2기 단계 게임 내쉬균형 \(\rightarrow\) \((D,~D)\)

    예시표

    예시표

    • 1기 단계 게임의 결과, 즉 2기의 역사 \(h^{2}\)가 \((D,~C)\)라고 하자.

    • 2기 단계 게임 내쉬균형 \(\rightarrow\) \((D,~D)\)

    예시표

    예시표

    • 1기 단계 게임의 결과, 즉 2기의 역사 \(h^{2}\)를 모두 고려하자.

    • 2기 단계 게임 내쉬균형 \((D,~D)\)

    예시표

    예시표

    • 1기 단계 게임과 2기 단계 게임의 내쉬균형은 모두 \((D,~D)\)

    • 2기 단계 게임의 균형을 역진귀납으로 1기 단계 게임에 적용하자.

    • 하위게임 완전균형을 구하자. \(\rightarrow\) \(\{(D,~D),~(D,~D)\}\)

    예시표

    예시표

  • 죄인의 딜레마 \(T\)회 반복

    • 1기, 2기,\(\cdots\), \(T\)기 단계 게임의 내쉬균형은 모두 \((D,~D)\)

    • 역진귀납을 이용한 하위게임 완전균형 \(\rightarrow\) \(\{(D,~D),~(D,~D),\cdots,~(D,~D)\}\)

    예시표

    예시표

응용해 봅시다.

  • Cournot 모형

    • 시장(역)수요함수 \(P=12-Q\)

    • 기업 1의 생산량 \(Q_{1}\), 기업 2의 생산량 \(Q_{2}\)

    • 각 기업은 동질의 재화를 공급

    • 각 기업의 고정비용과 가변비용은 모두 0

    • 각 기업의 이윤 구조

    \[\pi_{i}(Q_{i},~Q_{j})=(12-Q_{i}-Q_{j})Q_{i}\]

    • 각 기업의 이윤극대화 조건

      • 1계조건과 2계조건
      \[(F.O.C)~~~~\frac{\partial \pi_{i}}{\partial Q_{i}}=0~~~~~~~(S.O.C)~~~~\frac{\partial^{2} \pi_{i}}{\partial Q_{i}^{2}}<0\] \[\begin{split} (F.O.C)~~~~\frac{\partial \pi_{i}}{\partial Q_{i}}&=12-2Q_{i}-Q_{j}=0\\ Q_{i}&=\frac{12-Q_{j}}{2}\\ Q_{i}&=4~~~~~for~i=1,~2\\ (S.O.C)~~~~\frac{\partial^{2} \pi_{i}}{\partial Q_{i}^{2}}&<0\\ \end{split}\]

      • 시장균형가격 \(\rightarrow\) \(P=4\)

      • 각 기업의 이윤 \(\rightarrow\) \(\pi_{i}=16\)

  • \(T\)회 반복 Cournot 모형

    • 모든 기의 내쉬균형 \(\rightarrow\) \((Q_{1},~Q_{2})=(4,~4)\)

    • 하위게임 완전균형 \(\rightarrow\) \(\{(4,~4),~(4,~4),\cdots,~(4,~4)\}\)

무한반복게임

  • 핵심만 쏙쏙!

    • 다음 문제에 답을 할 수 있다.

      • 현실 세계 전략적 상황 \(\rightarrow\) 반복적 상호작용 \(\rightarrow\) 무한번 반복게임

      • 합리적 경기자들은 어떤 전략을 선택하는가?

    • 다음 문제를 생각하자.

      • 지금 당장이 중요한가? 아니면 미래가 중요한가?

      • 죄인의 딜레마를 무한 반복하면 유한 반복과 차이가 있는가?

      • 무한 반복하는 Cournot 균형은 무엇인가?

반복게임에서의 보수

  • 100을 이자율 10%로 저축하면 1기 후 \(\rightarrow\) \((1+0.1)\times 100=100+10\)

  • 1기 후 110의 현재가치 \(\dfrac{110}{1+0.1}=100\)

  • 1기 후의 보수 \(R\)의 현재가치 \(\rightarrow\) \(\dfrac{R}{1+r}\)

  • 1기 후의 보수 \(R\)을 현재가치화하는 할인인자 \(0<\delta<1\) \(\rightarrow\) \(\delta R\)

반복게임

  • 각 기의 보수 \(R_{1},~R_{2},\cdots,~R_{T}\) \(\rightarrow\) 보수의 현재가치 합 \(V\)

    \[\begin{split} V&=R_{1}+\frac{R_{2}}{1+r}+\frac{R_{3}}{(1+r)^{2}}+\cdots+\frac{R_{T}}{(1+r)^{T-1}}\\ &=R_{1}+\delta R_{2}+\delta^{2} R_{3}+\cdots+\delta^{T-1} R_{T}\\ &=\sum_{t=1}^{T}\delta^{t-1} R_{t} \end{split}\]

  • 반복게임 보수의 현재가치 합

    • 등비수열의 합 (단, 공비 \(r\ne1\))
    \[\begin{split} \sum_{i=1}^{n}ar^{i-1}&=a+ar+ar^{2}+\cdots+ar^{n-1}\\ S&=~a~+~ar~+ar^{2}+\cdots+ar^{n-1}\\ rS&=ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots+ar^{n}\\ (1-r)S&=a-ar^{n}\\ \sum_{i=1}^{n}ar^{i-1}&=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}\\ \frac{1-r}{1-r^{n}}\sum_{i=1}^{n}ar^{i-1}&=a\\ \end{split}\]
    • 보수의 현재가치 합 \(V\)
    \[\begin{split} V&=\sum_{t=1}^{T}\delta^{t-1} R_{t} \end{split}\]
    • 한반복게임의 평균할인보수 \(v\)
    \[V=\sum_{t=1}^{T}\delta^{t-1} R_{t}~~~rightarrow~~~ v=\left(\frac{1-\delta}{1-\delta^{T}}\right)\sum_{t=1}^{T}\delta^{t-1} R_{t}\]
    • 무한반복게임의 평균할인보수 \(v\)
    \[V=\sum_{t=1}^{\infty}\delta^{t-1} R_{t}~~~\rightarrow~~~ v=(1-\delta)\sum_{t=1}^{\infty}\delta^{t-1} R_{t}~~~~~~\because~\delta^{\infty}\rightarrow0\]

    • 무한반복게임의 평균할인보수 \(v\)

      • 무한반복게임의 평균할인보수 \(v\)는 \(R_{1}\)과 \(v(R_{2},~R_{3},\cdots)\)의 가중평균
      \[\begin{split} v(R_{1},~R_{2},~R_{3},\cdots)&=(1-\delta)\sum_{t=1}^{\infty}\delta^{t-1} R_{t}\\ &=(1-\delta)(R_{1}+\delta R_{2}+\delta^{2} R_{3}+\delta^{3} R_{4}+\cdots)\\ &=(1-\delta)R_{1}+(1-\delta)(\delta R_{2}+\delta^{2} R_{3}+\delta^{3} R_{4}+\cdots)\\ &=(1-\delta)R_{1}+\delta (1-\delta)(R_{2}+\delta R_{3}+\delta^{2} R_{4}+\cdots)\\ &=(1-\delta)R_{1}+\delta v(R_{2},~R_{3},\cdots)\\ \end{split}\]

      • 1기의 보수 \(R_{1}\)

      • 2기부터 시작되는 평균할인보수 \(v(R_{2},~R_{3},\cdots)\)

      \[v(R_{1},~R_{2},~R_{3},\cdots)=(1-\delta)R_{1}+\delta v(R_{2},~R_{3},\cdots)\]

    • 할인인자 \(\delta\)

      • 경기자의 인내력 또는 미래지향적 성향을 의미

      • 할인인자 \(\delta\)가 클수록 지금보다는 미래의 보수에 가중치

        • \(\rightarrow\) \(\delta\to1\)이면 현재의 보수에 0의 가중치

      • 할인인자 \(\delta\)가 작을수록 미래보다는 현재의 보수에 가중치

        • \(\rightarrow\) \(\delta\to0\)이면 현재의 보수, 즉 눈앞의 이익을 중시

죄인의 딜레마

  • 신사전략(nice)

    • 과거 역사가 무엇이건 또는 상대방이 어떤 선택을 했건 무조건 \(C\)를 반복

  • 깡패전략(nasty)

    • 과거 역사가 무엇이건 또는 상대방이 어떤 선택을 했건 무조건 \(D\)를 반복

  • 무자비전략(grim)

    • 상대방이 지난 기에 \(D\)를 선택했다면 자신은 이번 기부터 무조건 \(D\)를 선택

  • 무한반복 죄수의 딜레마 내쉬균형

    • 상대방의 반복게임 전략을 주어진 것으로 가정할 때 자신의 전략을 바꿀 유인이 없다.

    • 자신의 반복게임 전략을 주어진 것으로 가정할 때 상대방의 전략을 바꿀 유인이 없다.

  • 신사전략(nice)

    • 경기자 2의 신사전략을 가정

    • 경기자 1이 신사전략을 고수

    \[\begin{split} V&=3+3\delta+3\delta^{2}+\cdots=\frac{3}{1-\delta}\\ v&=(1-\delta)V=3\\ \end{split}\]
    • 경기자 1이 깡패전략으로 변경
    \[\begin{split} V&=4+4\delta+4\delta^{2}+\cdots=\frac{4}{1-\delta}\\ v&=(1-\delta)V=4\\ \end{split}\]

    예시표

    • 신사전략에서 깡패전략으로 바꿀 유인이 있기에 (신사전략, 신사전략)은 내쉬균형이 아니다.

  • 깡패전략(nasty)

    • 경기자 2의 깡패전략을 가정

    • 경기자 1이 깡패전략을 고수

    \[\begin{split} V&=1+1\delta+1\delta^{2}+\cdots=\frac{1}{1-\delta}\\ v&=(1-\delta)V=1\\ \end{split}\]
    • 경기자 1이 신사전략으로 변경
    \[\begin{split} V&=0+0\delta+0\delta^{2}+\cdots=\frac{0}{1-\delta}\\ v&=(1-\delta)V=0\\ \end{split}\]

    예시표

    • 깡패전략에서 신사전략으로 바꿀 유인이 없기에 (깡패전략, 깡패전략)은 내쉬균형이다.

  • 무자비전략(grim)

    • 경기자 2의 무자비전략을 가정

    • 경기자 2는 1기에 \(C\)를 선택하고 있다고 가정

    • 경기자 1이 \(C\)를 선택

    \[\begin{split} V&=3+3\delta+3\delta^{2}+\cdots=\frac{3}{1-\delta}\\ v_{C}&=(1-\delta)V=3\\ \end{split}\]
    • 경기자 1이 \(D\)를 선택
    \[\begin{split} V&=4+1\delta+1\delta^{2}+\cdots=4+\delta\frac{1}{1-\delta}\\ v_{D}&=(1-\delta)V=(1-\delta)(4)+\delta(1)\\ \end{split}\]

    예시표

    • 모든 경기자 \(v_{C}\ge v_{D}~\rightarrow~\delta\ge \dfrac{1}{3}\)일 때, (무자비전략, 무자비전략)은 내쉬균형이다.

정리하기

  • 일회게임 G가 유일한 내쉬균형을 갖는다면, 게임 G의 \(T\)회 유한반복게임에는 유일한 하위게임완전균형이 존재한다. 즉, 모든 기에 일회게임 G의 내쉬균형이 단순 되풀이된다.

  • 무한반복게임은 신사전략, 깡패전략, 무자비전략 등 반복게임 전략이 있으며, 할인인자에 따라 무자비전략은 내쉬균형이 될 수 있다.