집합과 명제
집합의 개념과 연산
★ 핵심만 쏙쏙!
‘집합’은?
지피지기와 피아식별!
집합과 원소
집합(set): 순서를 고려하지 않은 서로 다른 개체의 모임
\(a \in A\): 집합 \(A\)에 속한(in, \(\in\)) 개체(원소, element) \(𝑎\)
\(a \notin A\): 집합 \(A\)에 속하지 않은(not in, \(\notin\)) 개체 \(b\)
집합을 가장 먼저 학습하는 이유는?
집합을 기반으로 ‘함수’, ‘관계’, ‘그래프’ 등 수학 개념 설명
게임이론에서도 ‘경기자 집합’, ‘전략 집합’, ‘정보 집합’ 등 다양한 집합을 활용하여 게임을 정의
집합의 표기
원소나열법(roster method, by enumeration)
집합에 속한 (표현가능한) 모든 원소(구성원)을 나열
집합은 대문자, 원소는 중괄호(\(\{ \}\), brace)안의 소문자
원소나열법 예시
모음(vowel)인 영어 알파벳의 집합 \(𝑉 = \{𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢\}\)
100보다 작은 짝수의 집합 \(𝐸 = \{ 2, 4, 6, \cdots , 98\}\)
‘가위바위보’ 게임 참가자 1의 전략 \(𝑆_{1} = \{가위, 바위, 보\}\)
조건제시법(set builder notation, by description)
집합을 구성하는 ‘명확한’ 조건을 문장 또는 식으로 제시
일반적으로 모든 원소를 나열하는 것 자체에 한계가 존재
속성 \(𝑃\)를 가진 모든 \(𝑥\)의 집합 \(\{𝑥 \vert 𝑥 \text{는 속성} 𝑃 \text{를 가진다}\}\)
조건제시법 예시
- \[𝑂 = \{𝑥 \vert 𝑥 \text{는 20보다 작은 홀수인 양의 정수} \}\]
- \[𝑂 = \{𝑥 \in \mathbb{Z}^{+} \vert 𝑥 \text{는 홀수 and } 𝑥 < 20 \}\]
집합의 종류와 집합 사이의 관계
공집합(empty set, null set) \(\emptyset\) 또는 \(\{ \text{ } \}\)
어떤 개체(원소)도 속하지 않은 집합
집합을 구성하는 ‘조건’을 만족하는 개체(원소)가 없기 때문
- cf. 전체 집합 \(𝑈\)(universe): 모든 원소를 포함하는 집합
공집합을 포함하는 집합 \(\{\emptyset\}\)
공집합을 포함하는 집합 \(\{\emptyset\}\)은 공집합일까?
\(\rightarrow\) NO! 하나의 개체를 원소로 가진 단일 원소 집합!
cf. 빈 폴더와 빈 폴더를 포함하는 폴더
집합의 크기(cardinality) \(\vert 𝐴 \vert\)
집합에 속한 서로 다른 개체(원소)의 개수
유한집합(finite set)과 무한집합(infinite set)을 정의
cf. 가산성(countable, denumerable)
- 무한집합의 크기는 비교할 수 없을까?
자연수 \(\mathbb{N}\), 정수 \(\mathbb{Z}\), 유리수 \(\mathbb{Q}\)
- \(\rightarrow\) \(\vert \mathbb{N} \vert = \vert \mathbb{Z} \vert = \vert \mathbb{Q} \vert\) (why? how?)
모든 수 집합의 크기는 같다? NO!
\(\vert \mathbb{Q} \vert < \vert \mathbb{R} \vert\) (cf. 실수 \(\mathbb{R}\); \(\because\) 대각화 논법, 대각선 논법)
집합의 상동(equivalence) \(𝐴=𝐵\)
집합 \(𝐴\)가 집합 \(𝐵\)의 부분집합(\(𝐴 \subseteq 𝐵\))이면서 동시에 집합 \(𝐵\)가 집합 \(𝐴\)의 부분집합(\(𝐵 \subseteq 𝐴\))
두 집합의 원소가 모두 같음을 보이는 데 한계가 존재
진부분집합(proper subset) \(A \subsetneq B\)
집합 \(𝐴\)가 집합 \(𝐵\)의 부분집합(\(A \subseteq B\))이면서 동시에 집합 \(𝐴\)와 집합 \(𝐵\)가 상등이 아닐 때(\(𝐴 \neq 𝐵\))
cf. 일상생활의 부분집합 관계는 대부분 진부분집합
멱집합(powerset)
\(\mathcal{p}(S)\) : 집합 \(𝑆\)의 모든 부분집합을 원소로 가진 집합
- \[𝐵 = \{0, 1\}\]
- \[\rightarrow \mathcal{𝒫}(𝐵) = \{\emptyset, \{0\}, \{1\}, \{0, 1\} \}\]
- \[\emptyset \rightarrow \mathcal{𝒫}(\emptyset) = \{\emptyset\}; \{\emptyset\} \rightarrow \mathcal{𝒫}(\{\emptyset\}) = \{ \emptyset, \{\emptyset\} \}\]
유한집합의 부분집합의 개수는?
- 유한집합 \(𝑆\) 의 멱집합 \(\mathcal{𝒫}(𝑆)\)의 크기
- \(\vert S \vert = 𝑛 \rightarrow \vert \mathcal{𝒫}(𝑆) \vert = 2^{𝑛}\) (why? how?)
집합의 연산
합집합(union) \(A \cup B\)
집합 \(𝐴\)와 집합 \(𝐵\) 중 적어도 하나에 포함된 개체(원소)의 집합
- \[𝐴 \cup 𝐵 = \{𝑥 \vert 𝑥 \in 𝐴 \text{ 또는 } 𝑥 \in 𝐵 \} = \{ 𝑥 \vert 𝑥 \in 𝐴 \lor x \in 𝐵 \}\]
\(a\) \(b\) \(a \lor b\) True True True True False True False True True False False False
교집합(intersection) \(𝐴 \cap 𝐵\)
- 집합 \(𝐴\)와 집합 \(𝐵\) 모두에 포함된 개체(원소)의 집합
cf. 집합 \(𝐴\)와 집합 \(𝐵\)는 서로소(disjoint) if and only if \(𝐴 \cap 𝐵 = \emptyset\)
\(a\) \(b\) \(a \land b\) True True True True False False False True False False False False
차집합(difference) \(𝐴−𝐵\) 또는 \(𝐴∖𝐵\)
- 집합 𝐴의 원소 중 집합 𝐵에 포함되지 않은 원소의 집합
여집합(complement) \(𝐴^{𝑐}\) 또는 \(\overline{A}\)
- 전체집합 \(𝑈\)의 원소이지만 집합 \(𝐴\)에는 속하지 않는 원소의 집합
\(a\) \(\neg a\) True False False True 연산 법칙
항등 법칙: \(𝐴 \cap 𝑈 = 𝐴, 𝐴 \cup \emptyset = 𝐴\)
지배 법칙: \(𝐴 \cup 𝑈 = 𝑈, 𝐴 \cap \emptyset = \emptyset\)
멱등 법칙: \(𝐴 \cup 𝐴 = 𝐴, 𝐴 \cap 𝐴 = 𝐴\)
보원 법칙: \(\overline{(\overline{A})} = A\)
교환 법칙: \(𝐴 \cup 𝐵 = 𝐵 \cup 𝐴, 𝐴 \cap 𝐵 = 𝐵 \cap 𝐴\)
결합 법칙: \(𝐴 \cup ( 𝐵 \cup 𝐶 ) = ( 𝐴 \cup 𝐵 ) \cup 𝐶; 𝐴 \cap ( 𝐵 \cap 𝐶) = ( 𝐴 \cap 𝐵 ) \cap 𝐶\)
분배 법칙:
- \[𝐴 \cup ( 𝐵 \cap 𝐶 ) = ( 𝐴 \cup 𝐵) \cap ( 𝐴 \cup 𝐶)\]
- \[𝐴 \cap ( 𝐵 \cup 𝐶 ) = ( 𝐴 \cap 𝐵) \cup ( 𝐴 \cap 𝐶)\]
드 모르간(De Morgan)의 법칙 \(\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}, \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\)
흡수 법칙: \(𝐴 \cup ( 𝐴 \cap 𝐵 ) = 𝐴, 𝐴 \cap ( 𝐴 \cup 𝐵 ) = 𝐴\)
보수 법칙: \(𝐴 \cup \overline{A} = 𝑈, 𝐴 \cap \overline {A} = \emptyset\)
응용해 봅시다!
‘가위바위보’ 게임을 집합으로 정의해보면?
경기자(player) 집합 \(𝐼 = \{ 1, 2 \}\)
경기자 \(𝑖 \in 𝐼\) 의 전략 집합 \(𝑆_{𝑖} = \{ \text{가위}, \text{바위}, \text{보} \}\)
전략 프로파일 \((𝑠_{1}, 𝑠_{2})\)에 따른 경기자의 보수 \(u_{i} (𝑠_{1}, 𝑠_{2} )\)
\(P_{2}\) 가위 바위 보 \(P_{1}\) 가위 \((0, 0)\) \((-1, 1)\) \((1, -1)\) 바위 \((1, -1)\) \((0, 0)\) \((-1, 1)\) 보 \((-1, 1)\) \((1, -1)\) \((0, 0)\)
명제와 논리
★ 핵심만 쏙쏙!
‘명제’는?
집합으로 분류된 ‘피아’의 관계!
명제의 정의
명제(proposition) \(𝑝\)
참(True)/거짓(False) 중 하나의 진리값을 갖는(진리값을 명확하게 구별할 수 있는) 문장 또는 식
cf. 명제 \(𝑝\)의 부정: \(\neg 𝑝\) 또는 “not \(p\)”
명제를 학습하는 이유는?
수학적 진술의 명확화, 논리적 추론이 가능
대상 또는 진술 사이의 관계를 검증
조건명제 또는 명제함수 \(𝑝(𝑥)\)
변수의 값에 따라 명제의 참(True)/거짓(False)이 판별
어떤 전체집합 \(𝑈\) (또는 정의역 \(\mathcal{D}\))의 임의의 원소 \(x \in U\)를 대입하면 명제가 되는 관계식
진리집합(truth set)
명제함수 \(𝑝(𝑥)\)에 대하여, 명제함수를 ‘참(True)’으로 만드는 전체집합 \(𝑈\)에 속한 원소 \(𝑥\)의 집합
진리집합 \(𝑃 = \{ 𝑥 \in 𝑈 \vert 𝑝(𝑥) \text{는 "참(True)"} \}\)
명제의 연산
논리합(disjunction)
두 명제 \(𝑝\)와 \(𝑞\)가 모두 ‘거짓’일 때만 ‘거짓’
- 다른 경우에는 진리값이 ‘참’인 관계
논리합의 표현: \(𝑝 \lor 𝑞\) 또는 “𝑝 or 𝑞”
\(p\) \(q\) \(p \lor q\) T T T T F T F T T F F F
논리곱(conjunction)
두 명제 \(𝑝\)와 \(𝑞\)가 모두 ‘참’일 때만 ‘참’
- 다른 경우에는 진리값이 ‘거짓’인 관계
논리곱의 표현: \(𝑝 \land 𝑞\) 또는 “𝑝 and 𝑞”
\(p\) \(q\) \(p \land q\) T T T T F F F T F F F F 배타적(exclusive) 논리합
두 명제 \(𝑝\)와 \(𝑞\) 중 어느 하나만 ‘참’일 때 ‘참’
\(𝑝\)와 \(𝑞\)가 모두 ‘거짓’일 때 ‘거짓’
\(𝑝\)와 \(𝑞\)가 모두 ‘참’일 때 ‘거짓’인 관계
배타적 논리합의 표현: \(𝑝 \oplus 𝑞\) 또는 “𝑝 xor 𝑞”
논리합과 배타적 논리합의 비교
(포괄적) 논리합은 모두 ‘참’이어도 ‘참’
배타적 논리합은 모두 ‘참’일 때 ‘거짓’
\(p\) \(q\) \(p \oplus q\) T T F T F T F T T F F F
조건문과 필요조건, 충분조건
조건문 \(𝑝 \rightarrow 𝑞\)
가정 또는 전제 \(𝑝\)가 ‘참’이라는(성립한다는) 조건에서 결론 또는 결과 \(𝑞\)가 ‘참‘이라고 주장할 때 활용
가정 \(𝑝\)가 ‘참’이고 결론 \(𝑞\)가 ‘거짓’일 때 \(𝑝 \rightarrow 𝑞\) 는 ‘거짓’
\(p \rightarrow q\)의 표현: “\(𝑝\)이면 \(𝑞\)이다.”, “IF \(𝑝\), THEN \(𝑞\)”, “\(𝑝\) implies \(𝑞\)”
cf. 가정 \(𝑝\)가 ‘거짓’이고, 결론 \(𝑞\)가 ‘거짓’일 때 \(𝑝 \rightarrow 𝑞\)는 ‘참’(why?)
\(p\) \(q\) \(p \rightarrow q\) T T T T F F F T T F F T
필요조건, 충분조건, 필요충분조건
조건문 \(𝑝 \rightarrow 𝑞\)의 진리값이 ‘참(True)’일 때만 성립
충분조건(sufficient condition) \(𝑝 \rightarrow 𝑞\)가 ‘참‘일 때, 가정 \(𝑝\)
필요조건(necessary condition) \(𝑝 \rightarrow 𝑞\)가 ‘거짓‘일 때, 결론 \(𝑞\)
필요충분조건(necessary and sufficient condition) 필요조건이면서 동시에 충분조건!
조건문의 역, 이, 대우
조건문 \(𝑝 \rightarrow 𝑞\)
- “비가 오면, 김치전을 먹는다”
역(converse) \(q \rightarrow p\)
- “김치전을 먹으면, 비가 온다“
이(inverse) \(\neg 𝑝 \rightarrow \neg 𝑞\)
- “비가 오지 않으면, 김치전을 먹지 않는다”
대우(contraposition) \(\neg q \rightarrow \neg p\)
- “김치전을 먹지 않으면, 비가 오지 않는다”
논리적 동치
드 모르간의 법칙: 명제의 부정으로 논리를 단순화
- \[\neg (p \land q) \equiv \neg p \lor \neg q\]
\(p\) \(q\) \(p \land q\) \(\neg (p \land q)\) \(\neg p\) \(\neg q\) \(\neg p \lor \neg q\) T T T F F F F T F F T F T T F T F T T F T F F F T T T T - \[\neg (p \lor q) \equiv \neg p \land \neg q\]
\(p\) \(q\) \(p \lor q\) \(\neg (p \lor q)\) \(\neg p\) \(\neg q\) \(\neg p \land \neg q\) T T T F F F F T F T F F T F F T T F T F F F F F T T T T
- \[\neg (p \land q) \equiv \neg p \lor \neg q\]
조건문 \(𝑝 \rightarrow 𝑞\) 의 동치: \(\neg p \lor q\)
조건문 \(𝑝 \rightarrow 𝑞\) 는 가정 \(𝑝\)가 ‘참(True)’이고 결론 \(𝑞\)가 ‘거짓(False)’일 때만 ‘거짓(False)’
“비가 오면, 김치전을 먹는다” \(\equiv\) “비가 오지 않거나 김치전을 먹는다”
\(p\) \(q\) \(p \rightarrow q\) \(\neg p\) \(q\) \(\neg p \lor q\) T T T F T T T F F F F F F T T T T T F F T T F T
새로운 논리적 동치 만들기
\[\begin{align} \neg (p \rightarrow q) & \equiv p \land \neg q \\ \neg (p \rightarrow q) & \equiv \neg (\neg p \lor q) \quad \text{(조건문의 동치)} \\ & \equiv \neg (\neg p) \land \neg q \\ & \equiv p \land \neg q \quad \text{(드 모르간의 법칙, 이중 부정)} \\ \end{align}\] \[\begin{align} \neg(p \lor (\neg p \land q)) & \equiv \neg p \land \neg q \\ \neg(p \lor (\neg p \land q)) & \equiv \neg p \land \neg (\neg p \land q) \\ & \equiv \neg p \land (\neg (\neg p) \lor \neg q) \quad \text{(드 모르간의 법칙)} \\ & \equiv \neg p \land (p \lor \neg q) \\ & \equiv (\neg p \land p) \lor (\neg p \land \neg q) \quad \text{(분배 법칙)} \\ & \equiv F \lor (\neg p \land \neg q) \\ & \equiv \neg p \land \neg q \quad \text{(부정법칙, 항등법칙)}\\ \end{align}\]
한정 기호
전칭 한정기호(universal quantifier) \(\forall\)
어떤 변수가 취할 수 있는 모든 값에 대하여 주어진 명제가 ‘참(True)’이라고 주장할 때 활용
\(\forall x p(x)\): 정의역에 속한 모든 \(𝑥\)의 값에 대하여 \(𝑃(𝑥)\) “모든 \(𝑥\)에 대하여 \(𝑃(𝑥)\)” 또는 “임의의 \(𝑥\)에 대하여 \(𝑃(𝑥)\)”
\(𝑃(𝑥):𝑥+2 > 𝑥\), 정의역이 실수 전체일 때(\(\mathcal{D} = \mathbb{R}\)), \(\forall x p(x) = T\) 또는 \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(𝑃(𝑥):(𝑥+2)−𝑥 = 2 > 0 \rightarrow T\)
cf. 반례(counter example): \(𝑃(𝑥)=𝐹\)로 만드는 정의역 원소 \(𝑥 \in \mathcal{D}\)
존재 한정기호(existential quantifier) \(\exists\)
어떤 특성을 갖는 원소가 존재한다고 주장할 때 활용
\(\exists x Q(x)\): 정의역에 속하는 적어도 하나의 \(𝑥\)에 대하여 \(𝑄(𝑥)\) “어떤 \(𝑥\)에 대하여 \(𝑄(𝑥)\)” 또는 “적어도 한 \(𝑥\)에 대하여 \(𝑄(𝑥)\)”
\(𝑄(𝑥):3<𝑥<5\), 정의역이 자연수일 때(\(\mathcal{D} = \mathbb{N}\)), \(\exists x Q(x) = T\) 또는 \(\exists x \in \mathbb{N}\) such that \(𝑄(4):3<4<5 \rightarrow T\)
cf. 유일 한정기호 \(\exists!\) 또는 \(\exists_{1}\)
한정기호에 대한 드 모르간의 법칙
\(\neg \forall x P(x) \equiv \exists x \neg P(x)\): “정의역에 속한 모든 \(𝑥\)가 \(𝑃(𝑥)\)를 만족시키지 않는다”?
\(\exists x Q(x) \equiv \forall x \neg Q(x)\) “정의역에 속한 어떤 \(𝑥\)에 대하여 \(𝑄(𝑥)\)를 만족하는 것이 없다?”
부정 동치 표현 참 거짓 \(\neg \forall x P(x)\) \(\exists x \neg P(x)\) \(P(x)\)가 거짓이 되는 \(x\)가 존재할 때 모든 \(x\)에 대하여 \(P(x)\)가 참일 때 \(\neg \exists x Q(x)\) \(\forall x \neg Q(x)\) 모든 \(x\)에 대하여 \(Q(x)\)가 거짓일 때 \(Q(x)\)가 참이 되는 \(x\)가 존재할 때
응용해 봅시다!
‘가위바위보’ 게임에서 “이기기 위한 전략”은?
경기자(player) 집합 \(𝐼 = \{ 1, 2 \}\)
경기자 \(𝑖 \in 𝐼\) 의 전략 집합 \(𝑆_{𝑖} = \{ \text{가위}, \text{바위}, \text{보} \}\)
(가위, 보); (바위, 가위); (보; 바위)? 순수전략? 혼합전략?
\(P_{2}\) 가위 바위 보 \(P_{1}\) 가위 \((0, 0)\) \((-1, 1)\) \((1, -1)\) 바위 \((1, -1)\) \((0, 0)\) \((-1, 1)\) 보 \((-1, 1)\) \((1, -1)\) \((0, 0)\)
증명의 기초
★ 핵심만 쏙쏙!
‘증명’은?
그럴듯한 것을 정말로 그러하게!
증명에 대한 이해
증명(proof)
어떤 수학적 진술(statement)이 ‘참’임을 입증하는 논리적으로 타당한 수학적 논증
Prove \(\ldots\), Show \(\ldots\), Confirm that \(\ldots\)
증명의 구성 요소와 추론 규칙으로 ‘참’/’거짓’을 증명
증명은 무엇으로부터 시작할 수 있을까?
증명하고자 하는 정리에서 성립한다고 가정한 진술
‘참’이라고 가정된 공리(Axiom), 이미 증명된 정리 등
증명하고자 하는 진술의 중요도에 따른 분류
정리(Theorem)
주장/명제(Proposition)
보조정리/기본정리(Lemma)
따름정리(Corollary)
증명할 필요가 없거나 아직 증명되지 않은 진술
공리(Axiom): 증명하지 않는 정리
가설/짐작(Conjecture): 직관에 의해 ‘참’이라고 주장
증명 방법: 직접 증명
조건문 \(p \rightarrow q\)를 증명하는 절차
전제 \(𝑝\)가 ‘참(True)‘임을 가정
추론 규칙을 적용하여 논리를 발전
결론 \(𝑞\)가 ‘참(True)’임을 확인
조건문을 증명할 때 논리를 발전시키는 방법
전제 \(𝑝\)가 ‘참‘이면 결론 \(𝑞\)가 ‘참’일 수밖에 없음
전제 \(𝑝\)가 ‘참‘이면서 동시에 결론 \(𝑞\)가 ‘거짓’일 수 없음
예제 1: \(𝑛\)이 홀수이면, \(𝑛^{2}\)도 홀수이다?
- \[\forall n (P(n) \rightarrow (Q(n)))\]
\(𝑃(𝑛)\): \(𝑛\)은 홀수이다
\(𝑄(𝑛)\): \(𝑛^{2}\)은 홀수이다
전제 \(P(n)\)이 성립한다고 가정
홀수(odd numbers)의 정의는?
\(n \in \mathbb{Z}\) is an odd number if \(\exists k \in \mathbb{Z}, \quad \text{s.t. } n = 2k+1\)
논리 발전 및 결론: \(𝑄(𝑛)\)가 성립함을 도출
\[\begin{align} 𝑛^{2} & = (2𝑘+1)^{2} \\ & = 4𝑘^{2}+4𝑘+1 \\ & = 2(2𝑘^{2}+2𝑘)+1 \\ \end{align}\] \[2𝑘^2+2𝑘 = 𝑘^{'} \in \mathbb{Z} \\\] \[𝑛^2=2𝑘^′+1 \quad \blacksquare\]
- \[\forall n (P(n) \rightarrow (Q(n)))\]
예제 2: 실수 \(a, b, x, y\)에 대하여 \((𝑎^{2}+𝑏^{2})(𝑥^{2}+𝑦^{2}) \geq (𝑎𝑥+𝑏𝑦)^{2}\)?
‘(좌변) \(\geq\) (우변)’임을 보이려면?
- (좌변) \(-\) (우변) \(\geq 0\) !
(단, 등호\((=)\)는 \(𝑎/𝑥=𝑏/𝑦\)일 때 성립) \(\blacksquare\)
증명 방법: 대우 증명
대우(contraposition) 관계를 이용한 증명
전제로부터 결론에 도달하는 직접 증명을 적용하는 것이 불가능한 상황에서 활용
주장하려는 정리와 동치인 정리(대우)를 증명
cf. \(p \rightarrow q\)의 대우는 \(\neg q \rightarrow \neg p\)
대우 증명을 적용하려면?
대우 \(\neg q \rightarrow \neg p\)의 관점에서는 직접 증명과 동일
논리를 발전시키는 방향이 달라지면서 증명이 용이해지기도?
예제 1: \(3𝑛+2\)가 홀수이면 \(𝑛\)은 홀수이다?
전제 ‘\(3𝑛+2\)가 홀수’에서 출발하면?
\(3𝑛+2=2𝑘+1\)을 만족하는 정수 \(𝑘\)가 존재
이항하여 \(3𝑛+1=2𝑘\)를 이용하려면?
경우 나누기? (how?)
대우를 이용하여 증명하면?
명제의 대우: “\(𝑛\)이 짝수이면 \(3𝑛+2\)도 짝수이다”
\(𝑛=2𝑘\)를 만족하는 정수 \(𝑘\)가 존재하면
- \[3𝑛+2=3(2𝑘)+2=2(3𝑘+1)\]
- \[3𝑘+1 \in \mathbb{Z} \quad \blacksquare\]
예제 2: 자연수 \(a\)와 \(b\)에 대하여, \(n=ab\)이면 \(a \leq \sqrt{n}\) 또는 \(b \leq \sqrt{n}\)?
직접 증명하려면?
\(n=ab\)로부터 유도할 수 있는 조건은?
인수분해 후 각 인수에 대한 대소관계를 비교하려면?
대우를 이용하여 증명하면?
명제의 대우: “\((a > \sqrt{n}) \land ( 𝑏 > \sqrt{𝑛}) \rightarrow n \neq ab\)”
두 부등식을 같은 변끼리 곱하면, \(ab > \sqrt{𝑛}\sqrt{𝑛} = 𝑛\) \(\blacksquare\)
증명 방법: 모순 증명
모순(contradiction)을 이용한 증명
\(𝑝\): ‘참’임을 증명하고자 하는 정리
\(\neg 𝑝 \rightarrow 𝑞\)가 ‘참’이 되게 하는 모순 \(𝑞\)를 발견
조건문 \(\neg p \rightarrow q\)가 ‘참’이고 모순 \(𝑞\)가 ‘거짓’이면
\(\neg p\)는 ‘거짓‘일 수밖에 없으므로 \(𝑝\)가 ‘참‘이라는 결론
모순 증명은 언제 활용할까?
직접 증명으로 증명하기 어려운 경우
모순을 발견하는 게 상대적으로 용이한 경우
예제 1: \(\sqrt{2}\)는 무리수이다?
무리수(irrational number)의 정의는?
- 분수꼴 (\(𝑏/𝑎, 𝑎 \neq 0, 𝑏\)는 서로소인 정수)로 표현될 수 없는 수
분수꼴로 표현되지 않는다는 사실을 활용하려면?
모순을 이용하여 증명하면?
\(\sqrt{2}\)가 유리수라고 가정
\(\sqrt{2}= b / a\)인 서로소인 정수 \(a \neq 0, b\)가 존재
- \[\sqrt{2} = b / a \rightarrow b = \sqrt{2}a\]
- \(\rightarrow\) 양변을 제곱하면 \(𝑏^{2}=2𝑎^{2}\) … (이하 생략) …
예제 2: \(3𝑛+2\)가 홀수이면 \(𝑛\)은 홀수이다?
정리 \(𝑝 \rightarrow 𝑞\)가 ‘거짓’이라 전제하려면?
\(𝑝\)가 ‘참’이고 \(𝑞\)는 ‘거짓’!
여기에서부터 논리를 발전시켜 모순에 도달
\(3𝑛+2\)가 홀수이고 \(𝑛\)은 짝수라고 가정
\(𝑛=2𝑘\)를 만족하는 정수 \(𝑘\)가 존재
\(\rightarrow 3𝑛+2 = 3(2𝑘)+2 = 2(3𝑘+1)\)이므로
짝수 \(3𝑛+2\)가 홀수이고 동시에 \(3𝑛+2\)가 짝수?
모순! \(\blacksquare\)
“\(p \rightarrow q\)가 거짓”이라는 전제가 ‘거짓’ \(\rightarrow\) \(p \rightarrow q\)가 참!
응용해 봅시다!
게임이론에서 어떤 전략이 ‘유리한지’ 증명하려면?
우월전략(dominant strategy)
열등전략(dominated strategy)
내쉬균형(Nash Equilibrium)
보수 함수 사이의 관계 파악이 중요
정리하기
집합은 명확한 조건을 기준으로 ‘피아식별’
명제와 논리는 집합을 구성하는 조건으로부터 도출되는 관계를 논리적으로 확장할 때 활용
증명은 ‘참’인지 ‘거짓’인지 그럴싸한 명제가 실제로 ‘참’인지 ‘거짓’인지를 수학적으로 검증