함수와 그래프
함수의 개념
★ 핵심만 쏙쏙!
‘함수’는 특별한 ‘관계’!
관계와 그 표현
관계(relation)
객체 사이의 연관성을 표현하는 구조
두 집합 \(𝐴\)와 \(𝐵\)에 대하여 \(𝐴 \subsetneq 𝐵\)일 때
우리나라 광역자치단체와 도시(市) 사이의 관계
특정 연도 K-MOOC 등록생과 수강 교과목 사이의 관계
관계는 함수의 일반화
관계는 집합에서 원소 사이의 순서(order)를 고려
원소 사이에 ‘\(<\)‘, ‘\(\leq\)’, ‘\(\equiv\)’, ‘\(\subseteq\)’, ‘\(\subsetneq\)’ 등 연산자 적용 가능
이진관계 또는 이항관계(binary relations) \(𝑅\)은 두 집합 \(𝐴\)와 \(𝐵\)에 대하여, 데카르트 곱 \(𝐴×𝐵\)의 부분집합
두 집합 \(𝐴, 𝐵\)의 데카르트 곱(Cartesian product)
\[𝐴 \times 𝐵 = \{ (𝑎, 𝑏) \vert 𝑎 \in 𝐴 \text{ and } 𝑏 \in 𝐵 \}\]이진 관계 \(𝑅 \subseteq 𝐴 \times 𝐵\)
\[𝑎𝑅𝑏 \Leftrightarrow (𝑎, 𝑏) \in 𝑅; 𝑎𝑅𝑏 \leftrightarrow (𝑎, 𝑏) \notin 𝑅\]”\(a\)가 \(𝑅\)에 의해 \(𝑏\)와 관계되어 있다.”
\[𝑎𝑅𝑏 \Leftrightarrow 𝑏 𝑅^{−1} 𝑎\]※ 𝑛항 관계(𝑛–ary relations): \(𝐴_{1} \times 𝐴_{2} \times \cdots \times 𝐴_{𝑛}\)의 부분집합
관계 \(𝑎𝑅𝑏\)을 표현하는 방법
화살표 도표(arrow diagram): \(𝑎 \rightarrow 𝑏\)
좌표축 도표(coordinate diagram): 점 \((𝑎, 𝑏)\)
표(table): \(𝑎\) 위치의 행(row), \(𝑏\) 위치의 열(column)의 교차점에 표시
관계와 표현 예시:
우리나라 광역자치단체와 도시(市) 사이의 관계
집합 \(𝐴 = \{ \text{경기, 강원, 충청, 경상, 전라, 제주} \}\)
집합 \(𝐵 = \{ \text{고양, 화성, 춘천, 천안, 청주, 창원, 나주, 서귀포} \}\)
화살표 도표
표
\(B\) \(R\) 고양 화성 춘천 천안 청주 창원 나주 서귀포 \(A\) 경기 \(\surd\) \(\surd\) 강원 \(\surd\) 충청 \(\surd\) \(\surd\) 경상 \(\surd\) 전라 \(\surd\) 제주 \(\surd\)
관계의 성질
반사적(reflexive)
집합 \(𝐴\)에 대한 관계 \(𝑅\)의 모든 원소 \(𝑎 \in 𝐴\)에 대하여 \(𝑎𝑅𝑎 \Leftrightarrow (𝑎, 𝑎) \in 𝑅\)을 만족하는 관계
집합 \(𝐴 = \{1, 2, 3, 4\}\)에 대하여 ‘크거나 같은’ \(\geq\) 관계 \(𝑅\)
화살표 도표
비반사적(irreflexive)
집합 \(𝐴\)에 대한 관계 \(𝑅\)의 모든 원소 \(𝑎 \in 𝐴\)에 대하여 \((𝑎, 𝑎) \notin 𝑅\)을 만족하는 관계
집합 \(𝐴 = \{1, 2, 3, 4\}\)에 대하여 ‘크다’ \(\geq\) 관계 \(𝑅\)
화살표 도표
반사적이지도 비반사적이지도 않은 관계
집합 \(𝐴\)에 대한 관계 \(𝑅\)의 어떤 원소 \(𝑎 \in 𝐴\) 는 \((𝑎, 𝑎) \in 𝑅\) 를, 다른 어떤 원소 \(𝑏 \in 𝐴\)는 \((𝑏, 𝑏) \notin 𝑅\) 를 만족하는 관계
집합 \(𝐴 = \{1, 2, 3, 4\}\)에 대하여 ‘곱이 홀수인’ 관계 \(𝑅\)의 화살표 도표
대칭적(symmetric)
집합 \(𝐴\)에 대한 관계 \(𝑅\)의 모든 원소 \(𝑎,𝑏 \in 𝐴\)에 대하여 \((𝑎, 𝑏) \in 𝑅\)이면 \((𝑏, 𝑎) \in 𝑅\)를 만족하는 관계
관계 \(𝐴 = \{1, 2, 3, 4 \}\)에 대하여 대칭인 관계 \(𝑅\)
화살표 도표
반대칭적(antisymmetric)
집합 \(𝐴\)에 대한 관계 \(𝑅\)의 모든 원소 \(𝑎,𝑏 \in 𝐴\)에 대하여 \((𝑎, 𝑏) \in 𝑅\)이고 \((𝑏, 𝑎) \in 𝑅\) 이면 \(𝑎 = 𝑏\) 를 만족하는 관계
대칭적 관계와 반대칭적 관계는 서로 배타적? NO!
집합 \(𝐴 = \{1, 2, 3, 4 \}\)에 대한 \(𝑅 = \{(1, 2), (2, 1),(3, 4), (4, 3)\}\)은?
- 대칭적 O, 반대칭적 X
\(𝑅 = \{(1,1), (2,1),(2,2),(3,2),(3,3),(4,1),(4,4)\}\)은?
- 대칭적 X, 반대칭적 O
추이적/전이적(transitive)
집합 \(𝐴\)에 대한 관계 \(𝑅\)의 모든 원소 \(𝑎,𝑏,𝑐 \in 𝐴\)에 대하여 \((𝑎, 𝑏) \in 𝑅\)이고 \((𝑏, 𝑐) \in 𝑅\) 이면 \((𝑎, 𝑐) \in 𝑅\) 를 만족하는 관계
집합 \(𝐴 = \{1, 2, 3, 4\}\)에 대한 \(𝑅 = \{(1, 2), (2, 1),(3, 4), (4, 3)\}\)은?
- 추이적 NO! (why?)
\(𝑅 = \{(1,1), (1, 2), (2,1), (3,3),(3, 4), (4,3), (4,4)\}\)은?
- 반사적 O, 비반사적 X, 대칭적 O, 추이적 O
함수의 정의
함수(functions)
정의역에 포함된 각각의 원소가 공역 임의의 원소에 대응
두 집합 사이에 정의된 관계의 특별한 경우
- \(\rightarrow\) “함수는 특별한 관계!”
이진관계를 구성하는 순서쌍의 첫 번째 원소가 서로 같지 않은 순서쌍의 집합
관계를 정의할 때 앞에 위치한 집합의 모든 원소가 하나의 관계에 해당하는 경우
함수의 구성 요소
정의역(domain): 함수 \(𝑓\)에 포함된 순서쌍의 첫 번째로 원소로 구성된 집합
공역(codomain): 함수 \(𝑓\)에 포함된 순서쌍의 두 번째로 원소가 될 수 있는 모든 원소로 구성된 집합
치역(range): 함수 \(𝑓\)에 포함된 순서쌍의 두 번째로 원소로 구성된 집합
함수의 표현
집합 \(𝐴 = \{1, 2, 3, 4\}\)에서 정의된 관계 \(𝑅 = \{(1, 2), (2, 4), (3, 4), (4, 3)\}\)은 함수인가?
YES!
화살표 도표
집합 \(𝐴 = \{1, 2, 3, 4\}\)에서 정의된 관계 \(𝑅 = \{(1, 2), (2, 4), (3, 4), (4, 3)\}\)은 함수인가?
YES!
표
\(R\) 1 2 3 4 1 \(\surd\) 2 \(\surd\) 3 \(\surd\) 4 \(\surd\)
응용해 봅시다!
수요와 공급을 가격 \(𝑃\)의 함수로 정의
수요함수: \(𝑄_{𝑑} = 30 − 2𝑃\)
공급함수: \(𝑄_{𝑠} = −6 + 4𝑃\)
어떤 함수인가?
- 정의역
- 치역
좌표평면
★ 핵심만 쏙쏙!
좌표 평면에서 수를 이차원으로 표현 가능!
수직선
수직선 위의 점은? 실수(real number)!
수직선의 연속성 \(\rightarrow\) 실수의 연속성
실수에 대응되는 수직선 위의 점을 표현
\[\begin{align} 0 &: \text{원점} O \\ 3 &: \text{점} 𝑃 \\ 5 &: \text{점} 𝑄 \\ -2 &: \text{점} 𝑅 \\ -6 &: \text{점} S \\ \end{align}\]
수직선에서 두 점 사이의 거리
수직선 위의 두 점: \(𝐴(𝑥_{𝑎}), 𝐵(𝑥_{𝑏})\)
두 점 사이의 거리 \(=\) 선분 \(\overline{𝐴𝐵}\)의 길이
\[= \vert 𝑥_{𝑎} − 𝑥_{𝑏} \vert\]
좌표 평면의 개념
좌표평면
서로 직교하는 두 수직선(\(x\)축, \(y\)축)
좌표평면 위의 점: 두 실수의 순서쌍
좌표평면에서 두 점 사이의 거리
좌표평면 위의 두 점: \(𝐴(𝑥_{𝑎}, 𝑦_{𝑎} ), 𝐵(𝑥_{𝑏}, 𝑦_{𝑏} )\)
두 점 사이의 거리 \(=\) 선분 \(\overline{𝐴𝐵}\)의 길이
\[= \sqrt{\vert 𝑥_{𝑎} − 𝑥_{𝑏} \vert^{2} + \vert 𝑦_{𝑎} − 𝑦_{𝑏} \vert^{2} }\]
좌표평면에서 두 점 사이의 거리 예제 1
두 점 \(𝐴(𝑚^{2}, 𝑚), 𝐵(1, −𝑚)\) 사이의 거리가 2일 때, \(𝑚\)의 값?
\[\begin{align} \overline{AB} & = \sqrt{ (𝑚^{2}−1)^{2} + (𝑚−(−𝑚))^{2} } = 2 \\ & (𝑚^{2}−1)^{2}+(2𝑚)^{2} = 4 \\ & 𝑚^{4} − 2𝑚^{2} + 1 + 4𝑚^{2} = 𝑚^{4} + 2𝑚^{2} + 1 = 4 \\ \rightarrow & (𝑚^{2} + 1)^{2} = 4 \\ \rightarrow & 𝑚^{2} + 1 = 2 \quad (\because m^{2} \geq 0) \\ & 𝑚^{2} = 1 \\ & \therefore 𝑚 = −1, 1 \\ \end{align}\]
좌표평면에서 두 점 사이의 거리 예제 2
두 점 \(𝐴(2, 1), 𝐵(4, 3)\)로부터 같은 거리에 있는 \(𝑦\)축 위의 점?
\(𝑦\)축 위의 점의 좌표를 \(𝑄(0, 𝑦)\)라고 가정
\[\begin{align} \overline{AB} & = \overline{BQ} \\ \rightarrow \sqrt{ (2^{2}−0)^{2} + (1−y)^{2} } & = \sqrt{ (4 − 0)^{2} + (3 - y)^{2} } \\ \rightarrow 4 + 1 − 2𝑦 + 𝑦^{2} & = 16 + 9 − 6𝑦 + 𝑦^{2} \\ \rightarrow 4y & = 20 \\ \therefore y & = 5 \\ \rightarrow Q(0, 5) & \\ \end{align}\]
내분점과 외분점
수직선에서 선분의 내분점
선분 \(\overline{𝐴𝐵}\) 내부의 점 \(𝑃\)
\(\overline{PA} : \overline{PB} = m : n \Rightarrow\) 점 \(P\)가 선분 \(\overline{AB}\)를 \(m:n\)으로 내분
두 점 \(𝐴(𝑥_{𝑎}), 𝐵(𝑥_{𝑏})\)의 \(𝑚 : 𝑛\) 내분점 \(𝑃 \left( \dfrac{𝑚 𝑥_{𝑏} + 𝑛 𝑥_{𝑎}}{𝑚+𝑛} \right)\)
수직선에서 선분의 외분점
선분 \(\overline{𝐴𝐵}\) 외부의 점 \(Q\)
\(\overline{QA} : \overline{QB} = m : n \Rightarrow\) 점 \(Q\)가 선분 \(\overline{AB}\)를 \(m:n\)으로 외분
두 점 \(𝐴(𝑥_{𝑎}), 𝐵(𝑥_{𝑏})\)의 \(𝑚 : 𝑛\) 내분점 \(Q \left( \dfrac{𝑚 𝑥_{𝑏} - 𝑛 𝑥_{𝑎}}{𝑚-𝑛} \right)\)
좌표평면에서 선분의 내분점
선분 \(\overline{𝐴𝐵}\) 내부의 점 \(𝑃\)
\(\overline{𝑃𝐴} : \overline{𝑃𝐵} = 𝑚 : 𝑛 \Rightarrow\) 점 \(𝑃\)가 선분 \(\overline{𝐴𝐵}\)를 \(𝑚 : 𝑛\)으로 내분
두 점 \(𝐴(𝑥_{𝑎}, 𝑦_{𝑎}), 𝐵(𝑥_{𝑏}, 𝑦_{𝑏})\)의 \(𝑚 : 𝑛\) 내분점 \(𝑃 \left( \dfrac{𝑚𝑥_{𝑏} + 𝑛𝑥_{𝑎}}{𝑚 + 𝑛}, \dfrac{𝑚𝑦_𝑏 + 𝑛𝑦_𝑎}{𝑚 + 𝑛} \right)\)
좌표평면에서 선분의 외분점
선분 \(\overline{𝐴𝐵}\) 외부의 점 \(Q\)
\(\overline{Q𝐴} : \overline{Q𝐵} = 𝑚 : 𝑛 \Rightarrow\) 점 \(Q\)가 선분 \(\overline{𝐴𝐵}\)를 \(𝑚 : 𝑛\)으로 외분
두 점 \(𝐴(𝑥_{𝑎}, 𝑦_{𝑎}), 𝐵(𝑥_{𝑏}, 𝑦_{𝑏})\)의 \(𝑚 : 𝑛\) 외분점 \(𝑃 \left( \dfrac{𝑚𝑥_{𝑏} - 𝑛𝑥_{𝑎}}{𝑚 - 𝑛}, \dfrac{𝑚𝑦_𝑏 - 𝑛𝑦_𝑎}{𝑚 - 𝑛} \right)\)
선형결합(linear combination)
점(또는 벡터)의 스칼라 곱이 합으로 연결된 형태
점(또는 벡터) \(𝑣_{1}, 𝑣_{2}, \cdots, 𝑣_{𝑛}\)에 대하여
\[𝑎_{1} 𝑣_{1} + 𝑎_{2} 𝑣_{2} + \cdots + 𝑎_{𝑛} 𝑣_{𝑛}\]
볼록결합(convex combination)
계수 \(𝑎_{1}, 𝑎_{2}, \cdots , 𝑎_{𝑛}\)이 다음을 만족하는 선형결합
\[𝑎_{1} + 𝑎_{2} + \cdots + 𝑎_{𝑛} = \sum_{i=1}^{n} a_{i} = 1\] \[𝑎_{1} \geq 0, 𝑎_{2} \geq 0, \cdots, 𝑎_{𝑛} \geq 0 \Leftrightarrow \forall 𝑎_{𝑖} \geq 0, \quad 𝑖 = 1, 2, \cdots, 𝑛\]
내분점과 볼록결합
두 점 \(𝐴(𝑥_{𝑎}), 𝐵(𝑥_{𝑏})\) 선분 \(\overline{𝐴𝐵}\)의 \(𝑚 : 𝑛\) 내분점 \(𝑃 \left( \dfrac{𝑚 𝑥_{𝑏} + 𝑛 𝑥_{𝑎} }{𝑚 + 𝑛} \right)\)
점 \(𝐴(𝑥_{𝑎})\)에서 점 \(𝐵(𝑥_{𝑏})\)의 방향으로 선분 \(\overline{𝐴𝐵}\) 길이 \(\vert \overline{𝐴𝐵} \vert\)의 \(\dfrac{𝑚}{𝑚+𝑛}\)배 만큼 이동
점 \(𝐴(𝑥_{𝑎})\)의 좌표에 가중치 \(\dfrac{𝑛}{𝑚+𝑛}\), 점 \(𝐵(𝑥_{𝑏})\)의 좌표에 가중치 \(\dfrac{𝑚}{𝑚+𝑛}\)을 곱한 가중평균
선분 \(\overline{𝐴𝐵}\)의 내분점 \(𝑃 = (1−𝑡)𝐴 + 𝑡𝐵 \quad (0 \leq 𝑡 \leq 1)\)
외분점과 선형결합
두 점 \(𝐴(𝑥_{𝑎}), 𝐵(𝑥_{𝑏})\) 선분 \(\overline{𝐴𝐵}\)의 \(𝑚 : 𝑛\) 외분점 \(𝑃 \left( \dfrac{𝑚 𝑥_{𝑏} − 𝑛 𝑥_{𝑎}}{𝑚−𝑛} \right)\)
점 \(𝐴(𝑥_{𝑎})\)의 좌표에 가중치 \(\dfrac{−𝑛}{𝑚−𝑛}\),점 \(𝐵(𝑥_{𝑏})\)의 좌표에 가중치 \(\dfrac{𝑚}{𝑚−𝑛}\)을 곱한 가중평균
선분 \(\overline{𝐴𝐵}\)의 외분점 \(𝑄 = (1−𝑡)𝐴 + 𝑡𝐵 \quad (𝑡 < 0, 𝑡 > 1)\)
※ 직선 \(\overleftrightarrow{𝐴𝐵}\)의 표현 \(𝑋 = (1−𝑡)𝐴 + 𝑡𝐵 (𝑡 \in \mathbb{R})\)
응용해 봅시다!
수요와 공급의 관계에서 사중손실을 구하면?
수요함수: \(𝑄_{𝑑} = 30 − 2𝑃\)
공급함수: \(𝑄_{𝑠} = −6 + 4𝑃\)
외부의 개입에 의하여 가격이 통제된다면(\(𝑃 \leq 5\))?
가격 통제가 없을 때 균형 \((𝑃^{*}, 𝑄^{*}) = (6, 18)\)
통제 가격(\(𝑃=5\))에서 수요 \((\hat{P}, \hat{Q_{s}}) = (5, 20)\)
통제 가격(\(𝑃=5\))에서 공급 \((\hat{P}, \hat{Q_{d}}) = (5, 14)\)
사중손실(deadweight loss) \(= \dfrac{1}{2} \times 6 \times 1 = 3\)
함수의 그래프
★ 핵심만 쏙쏙!
‘함수’의 그래프는 ‘점’으로 시작해서 ‘선’으로 마무리!
관계의 좌표축 도표
관계에 포함된 순서쌍을 좌표평면 위의 점으로 표현
\(𝑎𝑅𝑏 \leftrightarrow (𝑎, 𝑏) \in 𝑅\): 좌표평면에 점 \((𝑎, 𝑏)\)를 표시
집합 \(𝐴 = \{1, 2, 3, 4\}\)에 대하여 ‘크거나 같은’ \(\geq\) 관계 \(R\)
- \[𝑅 = \{(1,1), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) \}\]
함수의 좌표축 도표: 집합 \(𝐴 = \{1, 2, 3, 4\}\)에서 정의된 함수 \(𝑅 = \{(1, 2), (2, 4), (3, 4), (4, 3) \}\)
화살표 도표
표
\(R\) 1 2 3 4 1 \(\surd\) 2 \(\surd\) 3 \(\surd\) 4 \(\surd\) 좌표축 도표
여러 가지 함수와 그 그래프
함수의 정의를 활용한 그래프의 판별
이진관계를 구성하는 순서쌍의 첫 번째 원소가 서로 같지 않은 순서쌍의 집합
관계를 정의할 때 앞에 위치한 집합의 모든 원소가 하나의 관계에 해당하는 경우
- 함수 \(𝑓 : 𝑥 \rightarrow 𝑥^{2}\)의 그래프
함수의 그래프와 함수가 아닌 것의 그래프
함수의 증가와 감소
점에서 함수의 증가상태와 감소상태
함수 \(𝑓(𝑥)\)가 \(𝑥 = 𝑎\)에서 증가상태
- 충분히 작은 양수 \(ℎ\)에 대하여, \(𝑓(𝑎−ℎ) < 𝑓(𝑎) < 𝑓(𝑎+ℎ)\)
함수 \(𝑓(𝑥)\)가 \(𝑥 = 𝑎\)에서 감소상태
- 충분히 작은 양수 \(ℎ\)에 대하여, \(𝑓(𝑎−ℎ) > 𝑓(𝑎) > 𝑓(𝑎+ℎ)\)
구간에서 함수의 증가와 감소
함수 \(𝑓(𝑥)\)가 열린구간 \((𝑎, 𝑏)\)에서 증가(increasing)
- 임의의 \(𝑥_{𝑖} < 𝑥_{𝑗} \in (𝑎,𝑏)\)에 대하여, \(𝑓(𝑥_{𝑖} ) < 𝑓(𝑥_{𝑗} )\)
함수 \(𝑓(𝑥)\)가 열린구간 \((𝑎, 𝑏)\)에서 감소(decreasing)
- 임의의 \(𝑥_{𝑖} < 𝑥_{𝑗} \in (𝑎,𝑏)\) 에 대하여, \(𝑓(𝑥_{𝑖}) > 𝑓(𝑥_{𝑗})\)
구간에서 함수의 오목과 볼록
함수 \(𝑓(𝑥)\)가 닫힌구간 \([𝑎, 𝑏]\)에서 아래로 볼록(convex)
(구간 內 임의의 점에서의 함숫값) \(\leq\) (구간 양끝점 함숫값의 가중평균)
임의의 \(𝑥_{𝑖}, 𝑥_{𝑗} \in [𝑎, 𝑏], \lambda \in [0,1]\) 에 대하여,
\[𝑓(\lambda 𝑥_{𝑖} + (1−\lambda) 𝑥_{𝑗} ) \leq \lambda 𝑓(𝑥_{𝑖} ) + (1−\lambda) 𝑓(𝑥_{𝑗})\]
함수 \(𝑓(𝑥)\)가 닫힌구간 \([𝑎, 𝑏]\)에서 오목(concave)
(구간 內 임의의 점에서의 함숫값) \(\geq\) (구간 양끝점 함숫값의 가중평균)
임의의 \(𝑥_{𝑖}, 𝑥_{𝑗} \in [𝑎, 𝑏], \lambda \in [0,1]\)에 대하여,
\[𝑓(\lambda 𝑥_{𝑖} + (1−\lambda) 𝑥_{𝑗} ) \geq \lambda 𝑓(𝑥_{𝑖} ) + (1−\lambda) 𝑓(𝑥_{𝑗})\]
실수 전체 집합에서 함수 \(𝑓(𝑥) = 𝑥^{2}\)의 볼록성 증명
- 볼록의 정의로부터 임의의 \(𝑥_{𝑖}, 𝑥_{𝑗} \in \mathbb{R}, \lambda \in [0,1]\)에 대하여, \(𝑓(\lambda 𝑥_{𝑖} + (1−\lambda) 𝑥_{𝑗} ) \leq \lambda 𝑓(𝑥_{𝑖})+(1−\lambda) 𝑓(𝑥_{𝑗})\)임을 증명
실수 전체 집합에서 함수 \(𝑓(𝑥 ) =𝑥^{2}\)의 그래프
응용해 봅시다!
그래프를 활용하여 수요와 공급의 균형을 구하면?
수요함수: \(𝑄_{𝑑} = 30 − 2𝑃\)
공급함수: \(𝑄_{𝑠} = −6 + 4𝑃\)
수요함수와 공급함수의 그래프를 작성하고 교점의 좌표를 구하면
\[(𝑃^{*}, 𝑄^{*}) = (6, 18)\]※ 역수요함수, 역공급함수
정리하기
함수는 집합 사이에 정의된 관계의 특별한 경우
좌표평면에서는 수를 이차원으로 정의하고
- 점 사이의 거리, 내분점, 외분점 등 계산 가능
함수의 그래프는 관계의 좌표축 도표를 일반화
- 함수의 증가/감소, 오목/볼록을 그래프로 확인