미분 기초
미분법
★ 핵심만 쏙쏙!
‘미분’은?
변화율
‘변화율’은?
경제학에서 ‘한계’
함수의 극한과 연속성
함수의 수렴(convergence)
\[𝑥 \rightarrow 𝑎 \text{일 때, 함수 } 𝑓(𝑥) \rightarrow 𝐿 \quad \left( \lim_{𝑥 \rightarrow 𝑎} 𝑓(𝑥) = 𝐿 \right)\]\(𝑥 \rightarrow 𝑎\): 변수 \(𝑥\)의 값이 \(𝑎\)에 한없이 가까워질 때
\(𝑓(𝑥) \rightarrow 𝐿: 𝑓(𝑥)\)의 값이 \(𝐿\)에 한 없이 가까워진다!
”\(𝑥 \rightarrow 𝑎\)일 때, 함수 \(𝑓(𝑥)\)의 극한값은 \(𝐿\)이다.”
“\(𝑥 \rightarrow 𝑎\)일 때, 함수 \(𝑓(𝑥)\)가 \(𝐿\)에 수렴한다.”
좌극한과 우극한
좌극한 \(𝑥 \rightarrow 𝑎−\):
변수 \(𝑥\)가 \(𝑎\)보다 작은 값에서(왼쪽에서) \(𝑎\)에 한없이 가까워질 때
\(\rightarrow\) 좌극한값은 그때 함수 \(𝑓(𝑥)\)가 수렴하는 값
우극한 \(𝑥 \rightarrow 𝑎 +\):
변수 \(𝑥\)가 \(𝑎\)보다 큰 값에서(오른쪽에서) \(𝑎\)에 한없이 가까워질 때
\(\rightarrow\) 우극한값은 그때 함수 \(𝑓(𝑥)\)가 수렴하는 값
함수의 극한값에 대한 사칙연산
\(𝑥 \rightarrow 𝑎\)일 때, 수렴하는 \(𝑓(𝑥) \rightarrow \alpha , 𝑔(𝑥) \rightarrow \beta\) 에 대하여
(실수배) \(\lim_{𝑥 \rightarrow 𝑎} 𝑘𝑓(𝑥) = 𝑘 \lim_{𝑥 \rightarrow 𝑎} 𝑓(𝑥) = 𝑘\alpha\) (\(𝑘\)는 상수)
(덧셈,뺄셈) \(\lim_{𝑥 \rightarrow 𝑎} \{ 𝑓(𝑥) \pm 𝑔(𝑥) \} = \lim_{𝑥 \rightarrow 𝑎} 𝑓(𝑥) \pm \lim_{𝑥 \rightarrow 𝑎} 𝑔(𝑥) = \alpha \pm \beta\)
(곱셈) \(\lim_{𝑥 \rightarrow 𝑎} \{𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) \} = \{ \lim_{𝑥 \rightarrow 𝑎} 𝑓(𝑥)\} \{\lim_{𝑥 \rightarrow 𝑎} 𝑔(𝑥)\} = \alpha\beta\)
(나눗셈) \(\lim_{𝑥 \rightarrow 𝑎} \dfrac{𝑓(𝑥)}{𝑔(𝑥)} = \dfrac{\lim_{𝑥 \rightarrow 𝑎} 𝑓(𝑥)}{\lim_{𝑥 \rightarrow 𝑎} 𝑔(𝑥)} = \dfrac{\alpha}{\beta}\) (단, \(\beta \neq 0\))
다항함수의 극한
다항함수: \(𝑓(𝑥) = 𝑎_{n} 𝑥^{n} + 𝑎_{(n-1)} 𝑥^{𝑛−1)} + \cdots + 𝑎_{1} 𝑥 + 𝑎_{0}\)
다항함수 𝑓(𝑥)의 극한:
\[\begin{align} & \lim_{𝑥 \rightarrow 𝑣} 𝑓(𝑥) \\ & = \lim_{𝑥 \rightarrow 𝑣} \left( 𝑎_{n} 𝑥^{n} + 𝑎_{(𝑛−1)} 𝑥^{(𝑛−1)} + \cdots + 𝑎_{1} 𝑥 + 𝑎_{0} \right) \\ & = \lim_{𝑥 \rightarrow 𝑣} \left( 𝑎_{n} 𝑥^{n} \right) + \lim_{𝑥 \rightarrow 𝑣} \left( 𝑎_{(𝑛−1)} 𝑥^{(𝑛−1)} \right) + \cdots + \lim_{𝑥 \rightarrow 𝑣} \left(𝑎_1 𝑥 \right) + \lim_{𝑥 \rightarrow 𝑣} 𝑎_{0} \\ & = 𝑎_{n} 𝑣^{n} + 𝑎_{(𝑛−1)} 𝑣^{(𝑛−1)} + \cdots + 𝑎_{n} 𝑣 + 𝑎_{0} \\ & = 𝑓(𝑣) \\ \end{align}\]
엄밀한 극한의 정의: 입실론(\(\epsilon\))-델타(\(\delta\)) 논법
\(𝑥 \rightarrow 𝑎\)일 때,
\[𝑓(𝑥) \rightarrow 𝐿 \Leftrightarrow \lim_{𝑥 \rightarrow 𝑎} 𝑓(𝑥) = 𝐿\]임의의 \(\epsilon > 0\)에 대하여, 다음을 만족하는 \(\delta\)가 존재
\[0 < \vert𝑥−𝑎\vert < \delta \text{이면, } \vert𝑓(𝑥)−𝐿\vert < \epsilon\]입실론-델타 논법으로 \(\lim_{𝑥 \rightarrow 1}(3𝑥−2) = 1\)을 증명
\(\begin{align} \vert(3𝑥−2)−1\vert & = \vert3𝑥−3\vert \\ & =3\vert𝑥−1\vert < \epsilon \\ \end{align}\)
\(0 < \delta < \dfrac{\epsilon}{3}\) 를 만족하는 \(\delta\)를 설정하면, (예를 들어 \(\delta = \dfrac{\epsilon}{4}\) )
\[0 < \vert𝑥−1\vert < \delta \Rightarrow 0 < 3\vert𝑥−1\vert < 3 \delta < \epsilon\]
점 \(𝑥 = 𝑎\)에서 함수 \(𝑓(𝑥)\)의 연속
점 \(𝑥 = 𝑎\) 에서 함수 \(𝑓(𝑥)\) 의 극한값과 함숫값이 일치
\[\lim_{𝑥 \rightarrow 𝑎}𝑓(𝑥)=𝑓(𝑎)\]닫힌 구간 \([𝑎,𝑏]\) 에서 함수 \(𝑓(𝑥)\) 의 연속
열린 구간 \((𝑎,𝑏)\) 의 임의의 점에서 함수 \(𝑓(𝑥)\) 가 연속
닫힌 구간 \([𝑎,𝑏]\) 의 양끝점에서 좌/우극한값과 함숫값 일치
\[\begin{align} \lim_{𝑥 \rightarrow 𝑎+} 𝑓(𝑥) & = 𝑓(𝑎) \\ \lim_{𝑥 \rightarrow 𝑏−} 𝑓(𝑥) & = 𝑓(𝑏) \\ \end{align}\]
미분 계수와 도함수
평균변화율의 정의
닫힌 구간 \([𝑎,𝑏]\) 에서 함수 \(𝑓(𝑥)\) (또는 \(𝑦\))의 평균변화율
\[\dfrac{\Delta 𝑦}{\Delta 𝑥} = \dfrac{\Delta 𝑓(𝑥)}{\Delta 𝑥} = \dfrac{𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)}{𝑏−𝑎} = \dfrac{𝑓(𝑎 + \Delta 𝑥) − 𝑓(𝑎)}{\Delta x}\]\(\Delta 𝑥 = 𝑏−𝑎 > 0\): \(𝑥\)의 값이 \(𝑎\)부터 \(𝑏\)까지 증가할 때, 그 증가한 값
\(\Delta 𝑦 = 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)\): \(𝑥\)의 값이 \(𝑎\)부터 \(𝑏\)까지 증가할 때, 함수 \(𝑓(𝑥)\)의 함숫값이 변화한 값
평균변화율의 기하학적 의미
닫힌 구간 \([𝑎,𝑏]\)에서 함수 \(𝑓(𝑥)\)(또는 𝑦)의 평균변화율
좌표평면 위 닫힌 구간의 양끝점 \((𝑎, 𝑓(𝑎))\)와 \((𝑏, 𝑓(𝑏))\)를 지나는 직선의 기울기 직선의 기울기
순간변화율의 정의
점 \(𝑥=𝑎\)에서 함수 \(𝑓(𝑥)\)의 순간변화율
\[\lim_{𝑏 \rightarrow 𝑎} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta 𝑥 \rightarrow 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta 𝑥 \rightarrow 0} \dfrac{𝑓(𝑎 + \Delta 𝑥) − 𝑓(𝑎)}{\Delta 𝑥} = \lim_{𝑏 \rightarrow 𝑎} \dfrac{𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)}{𝑏−𝑎}\]평균변화율을 정의하는 구간 \([𝑎,𝑏]\)을 \(𝑏 \rightarrow 𝑎\) 로 압축시켰을 때, 평균변화율 \(\dfrac{\Delta 𝑦}{\Delta 𝑥}\)의 극한값
순간변화율의 기하학적 의미
점 \(𝑥 = 𝑎\)에서 함수 \(𝑓(𝑥)\)의 순간변화율
좌표평면 위 한 점 \((𝑎, 𝑓(𝑎))\)에서 함수 \(𝑦 = 𝑓(𝑥)\)의 그래프에 접하는 접선의 기울기
미분계수 \(f^{'}(𝑎)\)
점 \(𝑥 = 𝑎\)에서 함수 \(𝑓(𝑥)\)의 순간변화율
\[f^{'}(a) = \lim_{𝑥 \rightarrow 𝑎} \dfrac{𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)}{𝑥−𝑎} = \lim_{\Delta 𝑥 \rightarrow 0} \dfrac{𝑓(𝑎 + \Delta 𝑥) − 𝑓(𝑎)}{\Delta 𝑥}\]미분계수의 다른 표현: \(𝑦^{'}\vert_{ 𝑥 = 𝑎}\), \(\dfrac{dy}{dx}\vert_{𝑥=𝑎}\)
\(𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥^{2} + 2𝑥 − 3\)의 \(𝑥 = 2\) 에서 미분계수
\[\begin{align} f^{'}(2) & = \lim_{𝑥 \rightarrow 2} \dfrac{𝑓(𝑥)−𝑓(2)}{𝑥−2} \\ & = \lim_{𝑥 \rightarrow 2} \dfrac{(𝑥^{2} + 2𝑥−3)−(2^{2} + 2 \times 2−3)}{𝑥−2} \\ & = \lim_{𝑥 \rightarrow 2} \dfrac{𝑥^{2} + 2𝑥−8}{𝑥−2} \\ & = \lim_{𝑥 \rightarrow 2} \dfrac{(𝑥 − 2)(𝑥 + 4)}{𝑥−2} \\ & = \lim_{𝑥 \rightarrow 2} (𝑥 + 4) \\ & = 6 \\ \end{align}\]
도함수 \(f^{'}(x\))
함수 \(𝑓(𝑥)\)의 정의역 임의의 점에 대한 순간변화율
미분계수 \(f^{'}(a) = \lim_{𝑥 \rightarrow 𝑎} \dfrac{𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)}{𝑥−𝑎} = \lim_{\Delta 𝑥 \rightarrow 0} \dfrac{𝑓(𝑎 + \Delta 𝑥)−𝑓(𝑎)}{\Delta 𝑥}\)
도함수 \(f^{'}(x) = \lim_{\Delta 𝑥 \rightarrow 0} \dfrac{𝑓(𝑥 + \Delta 𝑥)−𝑓(𝑥)}{\Delta 𝑥}\)
도함수의 다른 표현: \(𝑦^{'}, \dfrac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}, \dfrac{𝑑𝑓(𝑥)}{𝑑𝑥}, \dfrac{𝑑}{𝑑𝑥}𝑓(𝑥)\)
다항함수의 도함수
- \[𝑓(𝑥) = 𝑥\] \[\begin{align} f^{'}(x) & = \lim_{\Delta 𝑥 \rightarrow 0} \dfrac{𝑓(𝑥 + \Delta 𝑥)−𝑓(𝑥)}{\Delta 𝑥} \\ & = \lim_{\Delta 𝑥 \rightarrow 0} \dfrac{(𝑥 + \Delta 𝑥)−𝑥}{\Delta 𝑥} \\ & = \lim_{\Delta 𝑥 \rightarrow 0} \dfrac{\Delta 𝑥}{\Delta 𝑥} \\ & = \lim_{\Delta 𝑥 \rightarrow 0} (1) \\ & = 1 \\ \end{align}\]
- \[𝑓(𝑥) = 𝑥^{2}\] \[\begin{align} f^{'}(x) & = \lim_{\Delta 𝑥 \rightarrow 0} \dfrac{𝑓(𝑥 + \Delta 𝑥)−𝑓(𝑥)}{\Delta 𝑥} \\ & = \lim_{\Delta 𝑥 \rightarrow 0} \dfrac{(𝑥 + \Delta 𝑥)^{2}−𝑥^{2}}{\Delta 𝑥} \\ & = \lim_{\Delta 𝑥 \rightarrow 0} \dfrac{2x \Delta 𝑥 + (\Delta x)^{2}}{\Delta 𝑥} \\ & = \lim_{\Delta 𝑥 \rightarrow 0} (2x + \Delta x) \\ & = 2x \\ \end{align}\]
- \[𝑓(𝑥) = 𝑥^{3}\] \[\begin{align} f^{'}(x) & = \lim_{\Delta 𝑥 \rightarrow 0} \dfrac{𝑓(𝑥 + \Delta 𝑥)−𝑓(𝑥)}{\Delta 𝑥} \\ & = \lim_{\Delta 𝑥 \rightarrow 0} \dfrac{(𝑥 + \Delta 𝑥)^{3}−𝑥^{3}}{\Delta 𝑥} \\ & = \lim_{\Delta 𝑥 \rightarrow 0} \dfrac{3x^{2} (\Delta 𝑥) + 3x (\Delta x)^{2} + (\Delta x)^{3}}{\Delta 𝑥} \\ & = \lim_{\Delta 𝑥 \rightarrow 0} (3x^{2} + 3x(\Delta x) + (\Delta x)^{2}) \\ & = 3x^{2} \\ \end{align}\]
- \[\vdots\] \[𝑓(𝑥) = 𝑥^{n} \rightarrow f^{'}(x) = 𝑛 𝑥^{𝑛−1}\]
함수의 연산과 미분법
미분법 기본 공식
함수 \(𝑓(𝑥)\)와 \(𝑔(𝑥)\)의 도함수 \(𝑓^{'}(𝑥)\)와 \(𝑔^{'}(𝑥)\)가 존재할 때
\[\begin{align} 𝑓(𝑥) = 𝑐 \quad (𝑐\text{는 상수}) & \Rightarrow f^{'}(x) = 0 \\ 𝑓(𝑥) = 𝑥^{n} & \Rightarrow f^{'}(x) = 𝑛 𝑥^{𝑛−1} \\ 𝑦 = 𝑐𝑓(𝑥) & \Rightarrow 𝑦^{'} = 𝑐 f^{'}(x) \\ 𝑦 = 𝑓(𝑥) \pm 𝑔(𝑥) & \Rightarrow 𝑦^{′} = f^{'}(x) \pm 𝑔^{′}(𝑥) \\ 𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) & \Rightarrow 𝑦^{′} = f^{'}(x)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) 𝑔^{′}(𝑥) \\ 𝑦 = \dfrac{𝑓(𝑥)}{𝑔(𝑥)} & \Rightarrow 𝑦^{′}= \dfrac{f^{'}(x)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔^{′}(𝑥)}{𝑔(𝑥)^{2}} \\ \end{align}\]
합성함수의 미분법(연쇄법칙, Chain Rule)
합성함수 \(𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥))\) 의 도함수
\(𝑦 = 𝑓(𝑢), 𝑢 = 𝑔(𝑥)\)로 단순화
\[\begin{align} \dfrac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥} & = \lim_{\Delta 𝑥 \rightarrow 0} \dfrac{\Delta 𝑦}{\Delta 𝑥} \\ & = \lim_{\Delta 𝑥 \rightarrow 0} \dfrac{\Delta 𝑦}{\Delta 𝑢} \times \dfrac{\Delta u}{\Delta 𝑥} \\ & = \lim_{\Delta 𝑥 \rightarrow 0} \left( \dfrac{\Delta 𝑦}{\Delta 𝑢} \right) \times \lim_{\Delta 𝑥 \rightarrow 0} \left( \dfrac{\Delta 𝑢}{\Delta 𝑥} \right) \\ \end{align}\]$$ 𝑦 = (2𝑥 + 1)^{3} 의 도함수
\[\begin{align} 𝑦 & = 𝑢^{3} \\ 𝑢 & = 2𝑥 + 1 \\ \end{align}\] \[\begin{align} \dfrac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥} & = \dfrac{𝑑𝑦}{𝑑𝑢} \times \dfrac{𝑑𝑢}{𝑑𝑥} \\ & =(3𝑢^{2}) \times (2) \\ & =6 𝑢^{2} \\ & =6(2𝑥 + 1)^{2} \\ \end{align}\]
음함수 미분법
음함수(implicit function): \(𝑦 = 𝑓(𝑥)\) 꼴(양함수)로 표현이 되지 않은 함수
음함수를 미분하려면? 관계식을 정리하여 \(\dfrac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}\)를 유도
\(𝑦 = \sqrt{𝑥 + 1}\) 의 도함수는?
양변을 제곱하여 \(𝑦^{2} = 𝑥 + 1\)
양변을 \(𝑥\)로 미분하면 \(2𝑦 \dfrac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥} = 1 \rightarrow \dfrac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥} = \dfrac{1}{2𝑦} = \dfrac{1}{2\sqrt{𝑥 + 1}}\)
응용해 봅시다!
평균수입함수로부터 한계수입함수 계산
평균수입(average revenue)함수: \(𝐴𝑅 = 20−𝑄\)
수입함수: \(𝑅 = 𝐴𝑅 \times 𝑄 = (20−𝑄)𝑄 = 20𝑄 − 𝑄^{2}\)
한계수입(marginal revenue) 함수
\[𝑀𝑅 = \dfrac{dR}{dQ} = \dfrac{d}{dQ}(20𝑄 − 𝑄^{2}) = 20−2𝑄\]수입, 평균수입, 한계수입 사이의 관계는?
편미분
★ 핵심만 쏙쏙!
‘편미분’은?
관심 변수만 증가할 때 변화율!
다변수함수의 그래프
다변수함수의 정의
\(𝐷 \subseteq 𝑅^{n}\)일 때, \(𝐷\)에서 정의된 함수 \(𝑓\)가 임의의 순서쌍 \((𝑥_{1}, 𝑥_{2}, \cdots, 𝑥_{n}) \in 𝐷\)와 실수 \(𝑧 = 𝑓(𝑥_{1}, 𝑥_{2}, \cdots, 𝑥_{n} )\) 사이 관계를 지정하는 규칙
다변수함수 예시
가로의 길이가 \(𝑥\), 세로의 길이가 \(𝑦\)인 직사각형의 넓이 \(𝐴 = 𝑥𝑦\)
반지름의 길이 \(𝑟\), 높이가 \(ℎ\)인 직원기둥의 부피 \(𝑉 = \pi 𝑟^{2}h\)
다변수함수의 정의역(domain)
다변수함수 \(𝑓\)의 정의역이 특별히 명시되지 않았다면,\(𝑓\)의 정의역 \(𝐷\)는 \(𝑓\)를 가장 잘 정의하는 최대(maximal) 집합
\(𝑧 =\sqrt{𝑥^{2} + 𝑦^{2}}\)의 정의역:
\[𝐷 = \{ (𝑥, 𝑦) \vert 𝑥^{2} + 𝑦^{2} \geq 0 \} = \mathbb{R}^{2} \rightarrow \text{좌표평면 전체}\]\(𝑧 = \sqrt{9 − 𝑥^{2} − 𝑦^{2}}\)의 정의역:
\[\begin{align} 𝐷 & = \{ (𝑥, 𝑦) \vert 9 − 𝑥^{2} − 𝑦^{2} \geq 0 \} \\ & = \{(𝑥, 𝑦) \vert 𝑥^{2} + 𝑦^{2} \leq 9 \} \rightarrow \text{원의 내부} \\ \end{align}\]
다변수함수의 치역(range)
다변수함수 \(𝑓\)와 그 정의역 \(𝐷\)가 주어졌을 때, \(𝑓\)가 가질 수 있는 값의 집합
\(𝑧 =\sqrt{𝑥^{2} + 𝑦^{2}}\)의 치역: 정의역 \(𝐷 = \mathbb{R}^{2}\)
\[𝑓(𝐷) = \{ 𝑧 \in \mathbb{R} \vert 𝑧 \geq 0 \} \rightarrow \text{좌표공간의} 𝑧 \geq 0 \text{인 반공간}\]\(𝑧 = \sqrt{9−𝑥^{2}−𝑦^{2}}\)의 치역: 정의역 \(𝐷\)는 원의 내부
\[𝑓(𝐷) = \{ 𝑧 \in \mathbb{R} \vert 0 \leq 𝑧 \leq 3 \} \rightarrow \text{좌표공간 중 } 0 \leq z \leq 3 \text{인 영역(공간)}\]
절단면(cross-section)
다변수함수 \(𝑧 = 𝑓(𝑥_{1}, 𝑥_{2}, \cdots, 𝑥_{n} )\)의 \(𝑥_{𝑖} = 𝑐\)에서 절단면은 \(𝑧 = 𝑓(𝑥_{1}, 𝑥_{2}, \cdots, 𝑥_{n} )\) 와 \(𝑥_{𝑖} = 𝑐\) 의 교집합
\(𝑧 = \sqrt{4−𝑥^{2}−𝑦^{2} }\)의 \(𝑦 = 1\) 에서 절단면:
반구 \(𝑥^{2} + 𝑦^{2} + 𝑧^{2} = 4 ( z \geq 0)\)과 평면 \(𝑦 = 1\)의 교집합
- \[\rightarrow 𝑥^{2} + (1)^{2} + 𝑧^{2} = 4 (𝑧 \geq 0)\]
- 반원 \(𝑥^{2} + 𝑧^{2} = 3 (𝑧 \geq 0)\)
\(𝑧 = \sqrt{4−𝑥^{2}−𝑦^{2} }\)의 \(𝑥 = 0\)에서 절단면
반구 \(𝑥^{2} + 𝑦^{2} + 𝑧^{2} = 4 (𝑧 \geq 0)\)과 평면 \(𝑥=0\)의 교집합
- \[\rightarrow (0)^{2} + 𝑦^{2} + 𝑧^{2} = 4 (𝑧 \geq 0)\]
- 반원 \(𝑦^{2} + 𝑧^{2} = 4 (𝑧 \geq 0)\)
등위선(level curve)
다변수함수 \(𝑧 = 𝑓(𝑥_{1}, 𝑥_{2}, \cdots, 𝑥_{n} )\)가 같은 높이(level) \(𝑧 = 𝑘\)인 값을 갖는 순서쌍 \((𝑥_{1}, 𝑥_{2}, \cdots, 𝑥_{n})\)의 집합
\(𝑧 = 𝑓(𝑥_{1}, 𝑥_{2}, \cdots, 𝑥_{n} )\)와 \(𝑧 = 𝑘\) 의 교집합
- \(𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥^{2} + 𝑦^{2}\)의 그래프? 포물면(paraboloid)
- \(𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = \sqrt{𝑥^{2} + 𝑦^{2}}\)의 그래프? 원뿔(cone)
- \(𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥^{2} - 𝑦^{2}\)의 그래프? 포물면(paraboloid)
편미분과 편도함수
편미분계수
\(𝑧 = 𝑓(𝑥,𝑦)\)에 대하여 \(𝑦 = 𝑏\) 이고 \(𝑥\)만 변화할 때
\(𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑏)\)일 때, \(𝑔(𝑥)\)가 \(𝑥 = 𝑎\)에서 미분가능
\[𝑔^{′}(𝑎) = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{𝑔(𝑎 + ℎ)−𝑔(𝑎)}{h}\]- \(\rightarrow (𝑎,𝑏)\)에서 \(𝑓\)의 \(𝑥\)에 대한 편미분계수
편미분계수의 표현: \(𝑓_𝑥 (𝑎,𝑏); \dfrac{\partial f }{\partial 𝑥} (𝑎,𝑏); \dfrac{\partial 𝑧}{\partial 𝑥} \vert_{(𝑥,𝑦)=(𝑎,𝑏)}\)
※ \(\partial\) : 라운드 \(𝑑\)
\(𝑧 = 𝑓(𝑥,𝑦)\)에 대하여 \(𝑥 = 𝑎\) 이고 \(𝑦\) 만 변화할 때
\(𝑘(𝑦) = 𝑓(𝑎, 𝑦)\)일 때, \(𝑘(𝑦)\)가 \(𝑦 = 𝑏\)에서 미분가능
\[𝑘^{′}(𝑏) = \lim_{ℎ \rightarrow 0} \dfrac{𝑘(𝑏 + ℎ)−𝑘(𝑏)}{ℎ}\]- \(\rightarrow (𝑎,𝑏)\)에서 \(𝑓\)의 \(𝑦\)에 대한 편미분계수
편미분계수의 표현: \(𝑓_{𝑦} (𝑎,𝑏); \dfrac{\partial 𝑓}{\partial y} (𝑎,𝑏); \dfrac{\partial 𝑧}{\partial 𝑦} \vert_{(𝑥,𝑦)=(𝑎,𝑏) }\)
※ \(\partial\) : 라운드 \(𝑑\)
편도함수(partial derivative)
\(𝑧 = 𝑓(𝑥,𝑦)\)에 대하여 \(𝑓\)의 \(𝑥\)에 대한 편도함수:
\[𝑓_{𝑥} (𝑥,𝑦)= \dfrac{\partial 𝑓}{\partial 𝑥} (𝑥,𝑦) = \lim_{ℎ \rightarrow 0} \dfrac{𝑓(𝑥 + ℎ, 𝑦)−𝑓(𝑥,𝑦)}{ℎ}\]\(𝑧 = 𝑓(𝑥,𝑦)\)에 대하여 \(𝑓\)의 \(𝑦\)에 대한 편도함수:
\[𝑓_{𝑦} (𝑥,𝑦) = \dfrac{\partial 𝑓}{\partial 𝑦} (𝑥,𝑦) = \lim_{ℎ \rightarrow 0} \dfrac{𝑓(𝑥, 𝑦 + ℎ)−𝑓(𝑥,𝑦)}{ℎ}\]\(𝑧 = 𝑓(𝑥,𝑦) = 3𝑥^{2} + 𝑥𝑦 + 4𝑦^{2}\)의 \(𝑥\)에 대한 편도함수:
\[𝑓_{𝑥} = \dfrac{\partial 𝑓}{\partial 𝑥} = 6𝑥 + 𝑦\]\(𝑧 = 𝑓(𝑥,𝑦) = 3𝑥^{2} + 𝑥𝑦 + 4𝑦^{2}\)의 \(𝑦\)에 대한 편도함수:
\[𝑓_{y} = \dfrac{\partial 𝑓}{\partial y} = 𝑥 + 8𝑦\]
편도함수와 일차근사(linear approximation)
함수 \(𝑓\)의 편도함수가 점 \((𝑥_{0}, 𝑦_{0})\)에서 연속일 때, 곡면 위의 점 \((𝑥_{0}, 𝑦_{0}, 𝑓(𝑥_{0}, 𝑦_{0} ))\)에서 \(𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)\)의 접평면
함수 \(𝑓\)의 편도함수가 점 \((𝑥_{0}, 𝑦_{0} )\)에서 연속일 때, 점 \((𝑥_{0}, 𝑦_{0} )\)와 인접한 \((𝑥, 𝑦)\)에서 함숫값 \(𝑓(𝑥, 𝑦)\)의 일차근사
\[𝑧 = 𝑓(𝑥_{0}, 𝑦_{0}) + 𝑓_{𝑥} (𝑥_{0}, 𝑦_{0})(𝑥−𝑥_{0}) + 𝑓_{𝑦} (𝑥_{0}, 𝑦_{0})(𝑦−𝑦_{0})\]\(𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 5−𝑥^{2}−2𝑦^{2}\)에 대하여 \(𝑓(1.1, 0.9)\)의 근삿값을 \((1, 1)\)의 일차근사를 이용하여 계산
\[\begin{align} 𝑓(1.1, 0.9) & = 𝑓(1 + 0.1, 1−0.1) \\ 𝑓_{𝑥} & = \dfrac{\partial 𝑓}{\partial 𝑥} = −2𝑥 \rightarrow 𝑓_{𝑥}(1, 1) = −2 \\ 𝑓_{𝑦} & = \dfrac{\partial 𝑓}{\partial 𝑦} =−4𝑦 \rightarrow 𝑓_{𝑦} (1, 1) = −4 \\ 𝑓(1.1, 0.9) & \simeq 𝑓(1,1) + 𝑓_{𝑥} (1,1)(0.1) + 𝑓_{𝑦} (1,1)(−0.1) \\ & = 2 + (−2)(0.1) + (−4)(−0.1) \\ & = 2.2 \end{align}\]
기울기 벡터
기울기 벡터(gradient vector)의 정의
\(𝑧 = 𝑓(𝑥,𝑦)\) 위 임의의 점에서 접평면의 법선벡터; 접평면이 수직으로 바라보는 평면의 벡터
\(𝑧 = 𝑓(𝑥,𝑦)\) 위 임의의 점에서 계산한 \(𝑥, 𝑦\)에 대한 편도함수로 이루어진 벡터
- \[grad𝑓(𝑥_{0}, 𝑦_{0}); \nabla 𝑓 = (𝑓_{𝑥} (𝑥_{0}, 𝑦_{0} ), 𝑓_𝑦 (𝑥_{0}, 𝑦_{0}))\]
기울기 벡터 예제
\(z = 𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑥^{2} 𝑦 + 6𝑥𝑦^{3}\) @ \(𝑃 = (1,2)\) 기울기 벡터는?
\[\begin{align} 𝑓_{𝑥} &= \dfrac{\partial 𝑓}{\partial 𝑥} = 2𝑥𝑦 + 6𝑦^{3} \\ 𝑓_{𝑦} &= \dfrac{\partial 𝑓}{\partial 𝑦} = 𝑥^{2} + 18𝑥𝑦^{2} \\ \end{align}\]- 기울기 벡터
기울기 벡터와 등위선 사이의 관계: 서로 수직!
높이가 \(𝑧 = 𝑘\)인 등위선의 방정식: \(𝑘 = 𝑓(𝑥, 𝑦)\)
- 등위선의 방정식을 \(𝑥\)에 대하여 편미분
기울기 벡터 \(\nabla 𝑓 = \left( 𝑓_{𝑥}(𝑥,𝑦), 𝑓_{𝑦}(𝑥,𝑦) \right)\)의 기울기: \(\dfrac{𝑓_𝑦 (𝑥,𝑦)}{𝑓_𝑥 (𝑥,𝑦)}\)
(등위선의 기울기) \(\times\) (기울기 벡터의 기울기) \(=−1\)
기울기 벡터와 등위선의 증가/감소
점 \((𝑥_{0}, 𝑦_{0})\)에서 함수 \(𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)\)는
- \(\overrightarrow{𝑣} = \nabla 𝑓(𝑥_{0}, 𝑦_{0})\) 방향으로 가장 빠르게 증가
점 \((𝑥_{0}, 𝑦_{0})\)에서 함수 \(𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)\)는
- \(\overrightarrow{u} = -\nabla 𝑓(𝑥_{0}, 𝑦_{0})\) 방향으로 가장 빠르게 감소
기울기 벡터와 등위선의 증가/감소 예제
\(𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 5−𝑥^{2} − 2𝑦^{2}\) 위의 점 \((1, 1)\)에 \(𝑓\)가 가장 빠르게 증가하는/감소하는 방향은?
\[\begin{align} 𝑓_{𝑥} = \dfrac{\partial 𝑓}{\partial 𝑥} = −2𝑥 \rightarrow 𝑓_{𝑥} (1, 1) = −2 \\ 𝑓_{𝑦} = \dfrac{\partial 𝑓}{\partial 𝑦} = −4𝑦 \rightarrow 𝑓_{𝑦} (1, 1) = −4 \\ \end{align}\]가장 빠르게 증가하는 방향: \(\nabla 𝑓(1, 1) = (−2, −4)\)
가장 빠르게 감소하는 방향: \(−\nabla 𝑓(1, 1) = (2, 4)\)
응용해 봅시다!
수요와 공급의 관계에서 균형의 변동성을 구하면?
수요함수: \(𝑄_{𝑑} = 𝑎−𝑏𝑃\) \((𝑎, 𝑏 > 0)\)
공급함수: \(𝑄_{𝑠} = −𝑐 + 𝑑𝑃\) \((𝑐, 𝑑>0)\)
균형조건(\(𝑄_{𝑑} = 𝑄_{𝑠}\))을 적용하면?
\[(𝑃^{∗}, 𝑄^{∗}) = \left( \dfrac{𝑎 + 𝑐}{𝑏 + 𝑑}, \dfrac{𝑎𝑑−𝑏𝑐}{𝑏 + 𝑑} \right)\]편도함수를 활용하여 균형을 정태적으로 비교
\[\begin{align} \dfrac{\partial 𝑃^{*}}{\partial 𝑎} & = \dfrac{1}{𝑏 + 𝑑} > 0 \\ \dfrac{\partial 𝑃^{*}}{\partial b} & = -\dfrac{a+c}{(𝑏 + 𝑑)^{2}} < 0 \\ \dfrac{\partial 𝑃^{*}}{\partial c} & = \dfrac{1}{𝑏 + 𝑑} = \dfrac{\partial 𝑃^{*}}{\partial 𝑎} > 0 \\ \dfrac{\partial 𝑃^{*}}{\partial d} & = -\dfrac{a+c}{(𝑏 + 𝑑)^{2}} = \dfrac{\partial 𝑃^{*}}{\partial b} < 0 \\ \end{align}\]
정리하기
미분은 극한을 이용하여 변화율을 계산
미분은 경제학 분야에서 ‘한계’의 개념으로 활용
다변수함수를 미분할 때는 편미분을 적용하며, 편미분을 활용하여 균형의 정태적 비교가 가능