확률 기초

경우의 수

• 핵심만 쏙쏙!

  • (게임의 구성요소) 경기자, 전략, 결과, 보수, 게임의 규칙 \(\rightarrow\) 공통지식

    • 경기자(\(i\))의 action profile \((a_{i1},\cdots,a_{ij},\cdots,~a_{in})\)

    • 1회 게임의 순수전략

    • 반복게임을 하는 경우 경기자의 순수전략

    • 각 경기자의 순수전략

    • 각 경기자의 전략에 따른 결과(outcome)는 경우의 수

동전 던지기

• 동전을 한 번 던질 때 발생하는 사건

• 동전을 두 번 던질 때 발생하는 사건

• 동전을 \(n\) 번 던질 때 발생하는 사건

윷놀이

• 도, 개, 걸, 윷, 모가 나오는 사건

순열(permutation)

• \(n\)개의 대상물이 있고, 순서대로 뽑아서 줄을 세우는 경우의 수

• (a, b, c) 3개 대상물의 순열 \(\rightarrow\) 6가지(abc, acb, bac, bca, cab, cba)

• (1, 2, 3, 4) 4개 대상물의 순열 \(\rightarrow\) 24가지

  • 1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431

  • 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321

\(!\) factorial

\[n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots 3\times2\times1\]

순열의 계산

\[\begin{split} P(n,~r)={}_{n}{P}_{r} =& \underbrace{n\times (n-1)\times (n-2)\times\cdots \times(n-r+1)}_{\text{r개의 항(term)}} \\ =&\frac{n\times (n-1)\times\cdots \times(n-r+1)\times(n-r)!}{(n-r)!}=\frac{n!}{(n-r)!} \end{split}\]

조합(combination)

• \(n\)개의 원소를 갖는 집합에서 \(r\)개의 원소를 선택하는 경우의 수

• (a, b, c) 중에서 2개를 뽑는 조합

  • 3가지 (ab, ac, bc)

  • (ab, ba) 동일, (ac, ca) 동일 (bc, cb) 동일

• (a, b, c, d) 중에서 2개를 뽑는 조합

  • 6가지 (ab, ac, ad, bc, bd, cd)

  • (ab, ba) 동일, (ac, ca) 동일, (ad, da) 동일, (bc, cb) 동일, (bd, db) 동일, (cd, dc) 동일

조합의 계산

• \(n\) choose \(r\)이라고 읽는다.

\[\begin{split} C(n,~r)={}_{n}{C}_{r}={n \choose r} =&\frac{\overbrace{n\times (n-1)\times (n-2)\times\cdots \times(n-r+1)}^{\text{r개의 항(term)}}}{r!}\\ =&\frac{n\times (n-1)\times\cdots \times(n-r+1)\times(n-r)!}{r!(n-r)!}=\frac{n!}{r!(n-r)!} \end{split}\]

이항계수(binomial coefficient)

• 동전을 한 번 던지는 경우의 수 (\(2^{1}=2\)개)

\[{\bf H}ead, {\bf T}ail\]

• 동전을 두 번 던지는 경우의 수 (\(2^{2}=4\)개)

  • HH(1개), HT(2개), TT(1개)

• 동전을 세 번 던지는 경우의 수 (\(2^{3}=8\)개)

  • HHH(1개), HHT(3개), HTT(3개), TTT(1개)

• 동전을 \(n\) 번 던지는 경우의 수

  • \({}_{n}{C}_{r}\)을 이용

  • 즉, \(n\) 번 중 앞면(\(r\) 번) 또는 뒷면(\(n-r\) 번) 나오는 경우의 수를 계산

  \[{}_{n}{C}_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}={}_{n}{C}_{n-r}\]

동전 두 번 던지기 (이항계수 활용)

• 경우의 수는 4개이며, 1개의 \(HH\), 2개의 \(HT\), 1개의 \(TT\)

• 이항계수 \({}_{2}{C}_{0}\), \({}_{2}{C}_{1}\), \({}_{2}{C}_{2}\)

\[{}_{2}{C}_{0}H^{2}T^{0}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ \end{array}\right)H^{2}T^{0}=1\times HH\] \[{}_{2}{C}_{1}H^{2}T^{1}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ \end{array}\right)H^{1}T^{1}=2\times HT\] \[{}_{2}{C}_{2}H^{0}T^{2}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ \end{array}\right)H^{0}T^{2}=1\times TT\]

동전 세 번 던지기 (이항계수 활용)

• 경우의 수는 8개이며, 1개의 \(HHH\), 3개의 \(HHT\), 3개의 \(HTT\), 1개의 \(TTT\)

• 이항계수 \({}_{3}{C}_{0}\), \({}_{3}{C}_{1}\), \({}_{3}{C}_{2}\), \({}_{3}{C}_{3}\)

\[{}_{3}{C}_{0}H^{3}T^{0}=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ \end{array}\right)H^{3}T^{0}=1\times HHH\] \[{}_{3}{C}_{1}H^{2}T^{1}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ \end{array}\right)H^{2}T^{1}=3\times HHT\] \[{}_{3}{C}_{2}H^{1}T^{2}=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ \end{array}\right)H^{1}T^{2}=3\times HTT\] \[{}_{3}{C}_{3}H^{0}T^{3}=\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ \end{array}\right)H^{0}T^{3}=1\times TTT\]

동전 \(n\) 번 던지기 (이항계수 활용)

• 뒷면이 \(r\) 번, 앞면이 \(n-r\) 번 나오는 경우의 수

\[{}_{n}{C}_{r}H^{n-r}T^{r}=\left(\begin{array}{c}n\\ r\\ \end{array}\right)H^{n-r}T^{r}\]

• 8 번 던져 뒷면이 \(3\) 번, 앞면이 \(5\) 번 나오는 경우의 수

\[{}_{8}{C}_{3}H^{5}T^{3}=\left(\begin{array}{c}8\\ 3\\ \end{array}\right)H^{5}T^{3} =\frac{8!}{3!\times5!}H^{5}T^{3} =56\times H^{5}T^{3}\]

• 10 번 던져 뒷면이 \(4\) 번, 앞면이 \(6\) 번 나오는 경우의 수

\[{}_{10}{C}_{4}H^{6}T^{4}=\left(\begin{array}{c}10\\ 4\\ \end{array}\right)H^{6}T^{4} =\frac{10!}{4!\times6!}H^{6}T^{4} =210\times H^{6}T^{4}\]

유용한 조합 등식

• \(n\)개의 대상물에서 한 번에 \(r\)개를 선택하는 선택하는 가능한 \uline{조합의 수}

\[\left(\begin{array}{c}n\\ r\\ \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c}n-1\\ r-1\\ \end{array}\right) +\left(\begin{array}{c}n-1\\ r\\ \end{array}\right), ~~~~~1\le r \le n\]

• a를 포함한 수는 \({}_{n-1}{C}_{r-1}\)

\[\rlap{\overbrace{\phantom{a~~b~~c~~d~~e~~f~~g}}^{\text{7개의 원소}}}\underbrace{a~~b~~c~~d~~e}_{\text{5개의 원소}}~~f~~g~~~~~\rightarrow~~~~~ a~~\rlap{\overbrace{\phantom{b~~c~~d~~e~~f~~g}}^{\text{6개의 원소}}}\underbrace{b~~c~~d~~e}_{\text{4개의 원소}}~~f~~g\]

• a를 포함하지 않는 수는 \({}_{n-1}{C}_{r}\)

\[\rlap{\overbrace{\phantom{a~~b~~c~~d~~e~~f~~g}}^{\text{7개의 원소}}}\underbrace{a~~b~~c~~d~~e}_{\text{5개의 원소}}~~f~~g~~~~~\rightarrow~~~~~ a~~\rlap{\overbrace{\phantom{b~~c~~d~~e~~f~~g}}^{\text{6개의 원소}}}\underbrace{b~~c~~d~~e~~f}_{\text{5개의 원소}}~~g\]

이항정리(binomial theorem)

• \((x+y)^{n}\)은 어떤 형태일까?

\[\begin{split} (x+y)^{2}&=x^{2}+2xy+y^{2}\\ &=1\times x^{2}y^{0}+2\times x^{1}y^{1}+1\times x^{0}y^{2} \end{split}\] \[\begin{split} (x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\\ &=1\times x^{3}y^{0}+3\times x^{2}y^{1}+3\times x^{1}y^{2}+1\times x^{0}y^{3} \end{split}\] \[\begin{split} (x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\\ &=1\times x^{4}+4\times x^{3}y^{1}+6\times x^{2}y^{2}+4\times x^{1}y^{3}+1\times x^{0}y^{4} \end{split}\]

• 이항계수 활용

\[(x+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{}_{n}{C}_{k}x^{n-k}y^{k}=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k} =\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}\]

• \((x+y)^{12}\)에서 \(x^{7}y^{5}\)의 계수

\[{}_{12}{C}_{5}x^{7}y^{5}={}_{12}{C}_{7}x^{7}y^{5}={12 \choose 5}x^{7}y^{5}={12 \choose 7}x^{7}y^{5}\] \[\frac{12!}{5!7!}x^{7}y^{5}=792\times x^{7}y^{5}\]

응용해 봅시다.

• 야구 경기의 타자는 9명이다. 타순은 몇 가지인가?

  • 순열 \(9!=362,880\)

• 남학생 5명과 여학생 3명이 경제학 강의를 수강하고 있다.

  • 두 학생이 동일한 점수를 받을 수 없는 경우 순위는 몇 가지인가?

    • 순열 \(8!=40,320\)

  • 남학생은 남학생들만의 점수로, 여학생은 여학생들만의 점수로 순위를 정하는 경우는 몇 가지인가?

    • 순열 \(5!=120\), \(3!=6\), \(5!\times3!=720\)

• 어느 대학의 1학년은 5명, 2학년은 3명, 3학년은 6명, 4학년은 4명이다.

  • 각 학년에서 1명씩 뽑아 학생회를 구성하는 경우의 수는?
  \[5\times 3\times 6\times 4=360\]

• 경제학 교과서 3권, 통계학 교과서 4권, 게임이론 교과서 2권을 동일한 과목으로 나란히 정리하려 한다.

  • 경제학 교과서, 통계학 교과서, 게임이론 교과서 순서로 배열하는 경우의 수는?
  \[3!\times4!\times 2!=6\times 24\times 2=288\]
  • 동일한 과목 교과서 순서로 배열하는 경우의 수는?
  \[3!\times288=1,728\]

• 백기 3개, 청기 2개, 홍기 4개를 나열하여 신호를 구분하고자 한다. 몇 가지 신호를 만들 수 있는가?

  \[\dfrac{9!}{3!\times 2!\times 4!}=1,260\]

• 다음의 보수행렬을 보고 물음에 답하시오.

  

  • Player 1과 Player 2의 순수전략은 무엇인가?

    \[\{Up,~Down\},~~~\{Left,~Center,~Right\}\]

  • 게임의 결과는 몇 가지인가?

    \[(U,~L),~(U,~C),~(U,~R),~(D,~L),~(D,~C),~(D,~R)\]

확률과 확률변수

• 핵심만 쏙쏙!

  • 게임 적용

    • 전략형 게임에서 유한 개의 행동(예를 들어, \({\bf L}eft, {\bf R}ight\))을 갖는 경기자의 혼합전략

    • 확률 \(p\)를 이용하여 \(p\times L+(1-p)\times R\)로 표현

    • 전개형 게임에서 자연선택으로 게임이 어떤 시작 점(Node)에서 출발하는지가 확률로서 결정

    • 상대방에 대한 정보가 불완전한 베이즈 게임에서, 상대의 유형(type)을 일정한 확률로 추측

표본공간(sample space)

• (정의) 실험의 모든 가능한 결과의 집합 \(S\)

• 확실하게 결과를 미리 예측할 수 없는 실험

• 실험의 결과는 미리 알 수 없지만 가능한 모든 결과는 인식

  • 동전 한 번 던지기 \({\bf H}ead, {\bf T}ail\)
  \[S=\{H,~T\}\]
  • 동전 두 번 던지기 \(S=\{(i,~j) \vert i,~j=H,~T\}\)
  \[S=\{(H,~H),~(H,~T),~(T,~H),~(T,~T)\}\]
  • 주사위 한 번 던지기
  \[S=\{1,~2,~3,~4,~5,~6\}\]
  • 주사위 두 번 던지기 \(S=\{(i,~j) \vert i,~j=1,~2,~3,~4,~5,~6\}\)
  \[S=\{(1,~1),~(1,~2),~(1,~3),\cdots,~(6,~4),~(6,~5),~(6,~6)\}\]

확률의 정의

• 확률의 정의

  고전적 정의 Pierre-Simon, marquis de Laplace

  \(n\)개의 원소가 있는 표본공간 \(S=\{e_{1},\,\cdots,\,e_{n}\}\)에서 각 근원사건 \(e_{i}\)가 일어날 가능성이 동일한 경우에, \(k\)개의 원소로 구성된 사건 \(A\)가 일어날 확률은 다음과 같다.

  \[P(A)=\dfrac{k}{n}\]

  • 공정한 동전 던지기 앞면 \(\dfrac{1}{2}\), 뒷면 \(\dfrac{1}{2}\)

  • 공정한 주사위 던지기 각면 \(\dfrac{1}{6}\)

  빈도학파적 정의

  실험횟수를 \(n\)이라 할 때 사건 \(A\)가 일어날 확률은 다음과 같다.

  \[P(A)=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\times\{\text{사건 A가 발생한 횟수}\}\]

  • 주변의 공정한 동전 50번 던지기 \(\rightarrow\) 앞면 6회 \(\rightarrow\) \(\dfrac{6}{50}\) \(\rightarrow\) 던지는 회수를 늘리면 \(\dfrac{1}{2}\)로 수렴

  • 주변의 공정한 주사위 60 던지기 \(\rightarrow\) 3의 눈 21회 \(\rightarrow\) \(\dfrac{21}{60}\) \(\rightarrow\) 던지는 회수를 늘리면 \(\dfrac{1}{6}\)로 수렴

  공리론적 정의 Andrey Nikolaevich Kolmogorov

  표본공간 \(S\)에서 다음의 공리를 만족하는 \(P(A)\)를 사건 \(A\)의 확률이라고 한다.

  (공리 1)

  \[P(S)=1\]

  (공리 2)

  \[0\le P(A) \le 1\]

  (공리 3) 상호배반인 사건 \(A_{1},\,A_{2}\,\cdots\,\)에 대하여 \(A_{i}\cap A_{j}=\emptyset~~\rightarrow~~P(A_{i}\cap A_{j})=0\)

  \[P\big(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}\big)=P(A_{1})+P(A_{2})+\cdots\]

확률변수(random variable)

• 관심의 대상이 되는 양(수량)

• 표본공간에서 정의된 실숫값 함수

• 확률변수의 값은 실험의 결과에 따라 결정 \(\rightarrow\) 확률변수의 가능한 값에 확률 부여

• 공정한 동전 두 번 던지기 \(\rightarrow\) 경우의 수 \(\{HH,~HT,~TH,~TT\}\)

  • 앞면의 개수를 \(X\)라고 하면, \(X=0,~1,~2\) 중에서 한 값을 확률변수 \(\begin{split} P\{X=0\}&=P\{TT\}=\frac{1}{4}\\ P\{X=1\}&=P\{HT,~TH\}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\\ P\{X=2\}&=P\{HH\}=\frac{1}{4}\\ \end{split}\)

• 공정한 동전 세 번 던지기 \(\rightarrow\) 경우의 수

  \[\{HHH,~HHT,~HTH,~HTT,~THH,~THT,~TTH,~TTT\}\]
  • 뒷면의 개수를 \(Y\)라고 하면, \(Y=0,~1,~2,~3\) 중에서 한 값을 확률변수 \(\begin{split} P\{Y=0\}&=P\{HHH\}=\frac{1}{8}\\ P\{Y=1\}&=P\{HHT,~HTH,~THH\}=\frac{3}{8}\\ P\{Y=2\}&=P\{HTT,~THT,~TTH\}=\frac{3}{8}\\ P\{Y=3\}&=P\{TTT\}=\frac{1}{8}\\ \end{split}\)

• 공정한 주사위 두 번 던지고 눈의 수를 합 \(\rightarrow\) 경우의 수 \(\{2,~3,~4,~5,~6,~7,~8,~9,~10,~11,~12\}\)

  • 합의 수를 \(Z\)라고 하면, \(Z=2,~3,~4,~5,~6,~7,~8,~9,~10,~11,~12\) 중에서 한 값을 확률변수

\[\begin{split} P\{Z=2\}&=\frac{1}{36},~P\{Z=3\}=\frac{2}{36},~P\{Z=4\}=\frac{3}{36},\\ P\{Z=5\}&=\frac{4}{36},~P\{Z=6\}=\frac{5}{36},~P\{Z=7\}=\frac{6}{36},\\ P\{Z=8\}&=\frac{5}{36},~P\{Z=9\}=\frac{4}{36},~P\{Z=10\}=\frac{3}{36},\\ P\{Z=11\}&=\frac{2}{36},~P\{Z=12\}=\frac{1}{36}\\ \end{split}\]

• 공정한 동전 1개와 공정한 주사위 1개를 동시에 던지자.

  • 동전 앞면이 나오면 주사위 수를 2배하고, 뒷면이 나오면 3을 더하는 확률변수 \(X\)

  • 합의 수를 \(X\)라고 하면, \(X=2,~4,~5,~6,~7,~8,~9,~10,~12\) 중에서 한 값을 확률변수

\[\begin{split} P\{X=2\}&=\frac{1}{12},~P\{X=4\}=\frac{2}{12},~P\{X=5\}=\frac{1}{12},\\ P\{X=6\}&=\frac{2}{12},~P\{X=7\}=\frac{1}{12},~P\{X=8\}=\frac{2}{12},\\ P\{X=9\}&=\frac{1}{12},~P\{X=10\}=\frac{1}{12},~P\{X=12\}=\frac{1}{12}\\ \end{split}\]

확률에 관한 몇 가지 명제

• (명제 1) \(A\)와 \(A^{c}\)는 항상 상호배반이고 \(A\cup A^{c}=S\)이므로\(P(S)=P(A\cup A^{c})=P(A)+P(A^{c})=1\)이다. 따라서, \(P(A)=1-P(A^{c})\)

  • 공정한 주사위를 던져 홀수가 나오는 사건을 \(A\)라고 하자.
  \[P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}~~\rightarrow~~P(A^{c})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\]

  

• (명제 2) \(B\subset A\text{이면}~P(B)\le P(A)\)

  • (증명) \(B\subset A\)이므로 \(A=B\cup (B^{c}\cap A)\)이고, \(B\)와 \((B^{c}\cap A)\)는 상호배반이기에 \(P(A)=P(B)+P(B^{c}\cap A)\)이다. 그리고 \(0\le P(B^{c}\cap A)\le 1\)이므로 증명된다.

  • 공정한 주사위를 한 번 던지자. \(A\)는 5이하의 수가 나오는 사건, \(B\)는 소수(prime)가 나오는 사건이라 하자.

\[A=\{1,~2,~3,~4,~5\},~~~B=\{2,~3,~5\}\] \[P(A)=\frac{5}{6}, P(B)=\frac{3}{6}~~\rightarrow~~P(B)=\frac{3}{6}\le P(A)=\frac{5}{6}\]

• (명제 3) \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)

  • (증명) \(A\cup B\)를 상호 배반인 사건 \(A\)와 \(A^{c}\cap B\)의 합집합으로 나타낼 수 있기에

\[\begin{split} A\cup B&=A\cup (A^{c}\cap B)~~\rightarrow~~P(A\cup B)=P(A)+P(A^{c}\cap B)\\ B&=(A\cap B)\cup (A^{c}\cap B)~~\rightarrow~~P(B)=P(A\cap B)+P(A^{c}\cap B)\\ P(A\cup B)&=P(A)+P(A^{c}\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ \end{split}\]

• 공정한 주사위를 한 번 던지자. \(A\)는 짝수가 나오는 사건, \(B\)는 소수(prime)가 나오는 사건이라 하자.

\[A=\{2,~4,~6\},~~~B=\{2,~3,~5\},~~~A\cap B=\{2\}\] \[$P(A)=\frac{3}{6}, P(B)=\frac{3}{6}~~\rightarrow~~P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{5}{6}\]

• 집합 3개인 경우

\[\begin{split} &P(A\cup B\cup C)\\ =&P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(B\cap C)-P(C\cap A)+P(A\cap B\cap C) \end{split}\]

응용해 봅시다.

• 어떤 학급의 학생 중 24명은 축구, 15명은 야구, 20명은 농구를 한다. 학생 중 10명은 축구와 야구를, 7명은 야구와 농구를, 6명은 농구와 축구를 한다. 또한, 5명은 축구, 야구, 농구를 모두 하며, 8명은 전혀 운동을 하지 않는다. 이 학급의 학생은 몇 명인가?

  • (풀이) 적어도 하나의 운동을 하는 학생은 41명, 운동을 하지 않는 학생은 8명이므로 49명으로 구성된 학급이다.

\[\begin{split} &n(A\cup B\cup C)\\ =&n(A)+n(B)+n(C)\\&-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)+n(A\cap B\cap C)\\ =&24+15+20-10-7-6+5\\ =&41 \end{split}\]

• 공정한 공 4개가 항아리에 들어 있으며, 적색 공 2개와 청색 공 2개로 구성된다. 무작위로 2개의 공을 추출하는 실험에서 1개는 적색 공, 1개는 청색 공일 확률을 구하자

  • (풀이) 각 공에 숫자를 부여하면 \({}_{4}{P}_{2}=4\times 3=12\)이다.

  • 첫 번째 공이 적색 공, 두 번째 공이 청색 공인 경우 \(2\times 2=4\)

  • 첫 번째 공이 청색 공, 두 번째 공이 적색 공인 경우 \(2\times 2=4\)

  • 따라서, \(\dfrac{4+4}{12}=\frac{2}{3}\)

  • 다른 풀이 방법

\[\frac{ \left( \begin{array}{c} 2\\ 1\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 2\\ 1\\ \end{array} \right) }{ \left( \begin{array}{c} 4\\ 2\\ \end{array} \right) }=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\]

• 공정한 공 9개가 항아리에 들어 있으며, 적색 공 6개와 청색 공 3개로 구성된다. 무작위로 3개의 공을 추출하는 실험에서 2개는 적색 공, 1개는 청색 공일 확률을 구하자.

  • (풀이) 각 공에 숫자를 부여하면 \({}_{9}{P}_{3}=9\times 8\times 7=504\)이다.

  • 첫 번째 공이 적색 공, 두 번째 공이 적색 공, 세 번째 공이 청색 공인 경우 \(6\times 5\times 3=90\)

  • 첫 번째 공이 적색 공, 두 번째 공이 청색 공, 세 번째 공이 적색 공인 경우 \(6\times 3\times 5=90\)

  • 첫 번째 공이 청색 공, 두 번째 공이 적색 공, 세 번째 공이 적색 공인 경우 \(3\times 6\times 5 =90\)

  • 따라서, \(\dfrac{90+90+90}{504}=\dfrac{15}{28}\)

  • 다른 풀이 방법

\[\frac{ \left( \begin{array}{c} 6\\ 2\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 3\\ 1\\ \end{array} \right) }{ \left( \begin{array}{c} 9\\ 3\\ \end{array} \right) }=\frac{15\times 3}{84}=\frac{15}{28}\]

• 다음의 보수행렬을 보고 물음에 답하시오.

  

  • Player 1의 전략 \(Up\)의 확률이 0.7, Player 2의 전략 \(Left\)와 \(Right\)의 확률이 각각 0.2와 0.3이라고 하자. \((Down,~Center)\)의 결과가 발생할 확률은 얼마인가?
  \[(1-0.7)\times (1-0.2-0.3)=0.15\]

확률분포와 기댓값

• 핵심만 쏙쏙!

  • 게임 적용

    • 혼합전략 내쉬균형

    • 베이지안 내쉬균형

확률변수(random variable)

• 관심의 대상이 되는 양

• 표본공간에서 정의된 실수값 함수

  • 동전을 \(n\)번 던질 때 나오는 앞면(Head)의 수 \(X\)
  \[f(\{T\})=0,~f(\{H\})=1,~f(\{HT\})=1,~f(\{HH\})=2,~f(\{THHH\})=3,\cdots\] \[X=0,~1,~2,\cdots,~n\]

  • 윷을 던질 때 도가 나오면 1, 개가 나오면 2, 걸이 나오면 3, 윷이 나오면 4, 모가 나오면 5

    \[f(\{\text{도}\})=1,~f(\{\text{개}\})=2,~f(\{\text{걸}\})=3,~f(\{\text{윷}\})=4,~f(\{\text{모}\})=5\]
  \[X=1,~2,~3,~4,~5\]

이산확률변수(discrete random variable)

• 기껏해야 가산 무한개의 가능한 값을 갖는 확률변수

• 이산확률변수 \(X\)에 대해 \(X\)의 확률질량함수(probability mass function)

  \[p(a)=P\{X=a\}\]

• 확률질량함수 \(p(a)\)는 기껏해야 무한개의 \(a\) 값에 대해 양수 또는 0

  \[X=x_{1},~x_{2},~x_{3},\cdots\]

\[\begin{split} &p(x_{i})\ge 0,~~~~~i=1,~2,~3,\cdots\\ &p(x)=0,~~~~~~\text{다른 모든 x 값에 대해}\\ \therefore&\sum_{i=1}^{\infty}p(x_{i})=1 \end{split}\]

• 공정한 주사위를 한 번 던질 때 눈의 확률질량함수

  • 확률변수 \(X\)
  \[f(\{1\})=1,~~~f(\{2\})=2,~~~f(\{3\})=3,~~~f(\{4\})=4,~~~f(\{5\})=5,~~~f(\{6\})=6\]
  • 확률질량함수
  \[p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=\frac{1}{6}\] \[p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)+p(6)=1\]

• 공정한 동전을 세 번 던질 때 앞면이 나오는 수의 확률질량함수

  • 확률변수와 확률질량함수

\[\begin{split} f(\{HHH\})&=3,~~~f(\{TTT\})=0\\ f(\{HHT\})&=f(\{HTH\})=f(\{THH\})=2\\ f(\{HTT\})&=f(\{THT\})=f(\{TTH\})=1\\ \end{split}\] \[\begin{array}{cccc} &p(1)=\dfrac{_{3}C_{1}}{2^{3}}=\dfrac{3}{8}&p(2)=\dfrac{_{3}C_{2}}{2^{3}}=\dfrac{3}{8}&\\ p(0)=\dfrac{_{3}C_{0}}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}&&&p(3)=\dfrac{_{3}C_{3}}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}\\ \end{array}\] \[p(0)+p(1)+p(2)+p(3)=1\]

• 공정한 윷을 1 번 던질 때 말이 이동하는 수의 확률질량함수

  • 윷을 1 번 던지는 것은 윷가락 1 개를 네 번 던지는 것과 동일 (단, 백도는 없다) \(\rightarrow\) \({}_{n}{C}_{r}\)

  • 확률변수와 확률질량함수

\[f(\{\text{도}\})=1,~f(\{\text{개}\})=2,~f(\{\text{걸}\})=3,~f(\{\text{윷}\})=4,~f(\{\text{모}\})=5\] \[\begin{array}{ccccc} &&p(2)=\dfrac{_{4}C_{2}}{2^{4}}=\dfrac{6}{16}&&\\ &p(1)=\dfrac{_{4}C_{1}}{2^{4}}=\dfrac{4}{16}&&p(3)=\dfrac{_{4}C_{3}}{2^{4}}=\dfrac{4}{16}&\\ p(5)=\dfrac{_{4}C_{0}}{2^{4}}=\dfrac{1}{16}&&&&p(4)=\dfrac{_{4}C_{4}}{2^{4}}=\dfrac{1}{16}\\ \end{array}\] \[p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)=1\]

기댓값(expectation 또는 expected value)

• \(X\)가 확률질량함수 \(p(x)\)를 가진 이산확률변수

• \(X\)의 기댓값

\[E[X]=\sum_{x:p(x)>0}xp(x)\]

• 공정한 동전을 한 번 던질 때 기댓값

  • 확률변수 \(X=\{1,~0\}\)
  \[f(\{Head\})=1,~~~~~~f(\{Tail\})=0\]
  • 확률질량함수
  \[p(1)=\frac{1}{2},~~~~~p(0)=\frac{1}{2}\]
  • 기댓값
  \[\sum xp(x)=1\times p(1)+0\times p(0)=\frac{1}{2}\]

• 공정한 주사위를 한 번 던질 때 기댓값

  • 확률변수 \(X\)
  \[f(\{1\})=1,~~~f(\{2\})=2,~~~f(\{3\})=3,~~~f(\{4\})=4,~~~f(\{5\})=5,~~~f(\{6\})=6\]
  • 확률질량함수
  \[p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=\frac{1}{6}\]
  • 기댓값
  \[1\times p(1)+2\times p(2)+3\times p(3)+4\times p(4)+5\times p(5)+6\times p(6)=\frac{7}{2}\]

• 공정한 동전을 세 번 던질 때 앞면이 나오는 수의 기댓값

  • 확률변수 \(X\)
  \[\begin{split} f(\{HHH\})&=3,~~~f(\{TTT\})=0\\ f(\{HHT\})&=f(\{HTH\})=f(\{THH\})=2\\ f(\{HTT\})&=f(\{THT\})=f(\{TTH\})=1\\ \end{split}\]
  • 확률질량함수
  \[\begin{array}{cccc} p(0)=\dfrac{_{3}{C}_{0}}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}&p(1)=\dfrac{_{3}{C}_{1}}{2^{3}}=\dfrac{3}{8}&p(2)=\dfrac{_{3}{C}_{2}}{2^{3}}=\dfrac{3}{8}&p(3)=\dfrac{_{3}{C}_{3}}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}\\ \end{array}\]
  • 기댓값
  \[0\times p(0)+1\times p(1)+2\times p(2)+3\times p(3)=\frac{3}{2}\]

• 공정한 윷을 1 번 던질 때 말이 이동하는 수의 기댓값

  • 윷을 1 번 던지는 것은 윷가락 1 개를 네 번 던지는 것과 동일 (단, 백도는 없다) \(\rightarrow\) \({}_{n}{C}_{r}\)

  • 확률변수 \(X\)

  \[f(\{\text{도}\})=1,~f(\{\text{개}\})=2,~f(\{\text{걸}\})=3,~f(\{\text{윷}\})=4,~f(\{\text{모}\})=5\]
  • 확률질량함수
  \[\begin{array}{ccccc} p(1)=\dfrac{4}{16}&p(2)=\dfrac{6}{16}&p(3)=\dfrac{4}{16}&p(4)=\dfrac{1}{16}&p(5)=\dfrac{1}{16}\\ \end{array}\]
  • 기댓값
  \[1\times p(1)+2\times p(2)+3\times p(3)+4\times p(4)+5\times p(5)=\frac{37}{16}\]

베르누이 확률변수(Bernoulli random variable)

• 각 시행에서 성공할 확률이 \(p\), 실패할 확률이 \((1-p)\)인 독립시행을 \(n\)번 실행

• \(n\)번의 독립시행에서 발생한 성공의 횟수가 \(X\)

• \(X\)는 모수가 \((n,~p)\)인 이항확률변수

• 모수가 \((n,~p)\)인 이항확률변수의 확률질량함수

\[\begin{split} p(i)&={n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i},~~~~~i=0,~1,~2,\cdots,~n\\ \sum_{i=0}^{\infty}p(i)&=\sum_{i=0}^{n}{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}\\ &=[p+(1-p)]^{n}~~~~~~~~~\because~\text{이항정리}~(x+y)^{n}\\ &=1 \end{split}\]

• 공정한 동전 5개를 던져서 나온 앞면(성공)의 개수 \(X\)

  • 확률변수 \(X=0,~1,~2,~3,~4,~5\)

  • \(X\)는 모수가 \((5,~1/2)\)인 이항확률변수

  \[\begin{array}{cc} P\{X=0\}={5 \choose 0}\left(\frac{1}{2} \right)^{0}\left(\frac{1}{2} \right)^{5}=\frac{1}{32}& P\{X=1\}={5 \choose 1}\left(\frac{1}{2} \right)^{1}\left(\frac{1}{2} \right)^{4}=\frac{5}{32}\\ P\{X=2\}={5 \choose 2}\left(\frac{1}{2} \right)^{2}\left(\frac{1}{2} \right)^{3}=\frac{10}{32}& P\{X=3\}={5 \choose 3}\left(\frac{1}{2} \right)^{3}\left(\frac{1}{2} \right)^{2}=\frac{10}{32}\\ P\{X=4\}={5 \choose 4}\left(\frac{1}{2} \right)^{4}\left(\frac{1}{2} \right)^{1}=\frac{5}{32}& P\{X=5\}={5 \choose 5}\left(\frac{1}{2} \right)^{5}\left(\frac{1}{2} \right)^{0}=\frac{1}{32}\\ \end{array}\] \[\sum_{i=0}^{5}P\{X=i\}=1\]
  • 기댓값
  \[\sum_{i=0}^{5}ip(i)=0\times \frac{1}{32}+1\times \frac{5}{32} +2\times \frac{10}{32}+3\times \frac{10}{32}+4\times \frac{5}{32}+5\times \frac{1}{32} =\frac{5}{2}\]

응용해 봅시다.

• 공정한 주사위 두 개를 던져 3의 배수가 나온 수만큼 1,000원을 받는 게임

  • 게임의 지불금액은 0

  • 확률변수 \(X=0,~1,~2\)

  • \(X\)는 모수가 \((2,~1/3)\)인 이항확률변수

  \(X\)	0	1	2
  이항확률	\(_{2}{C}_{0}\left(\frac{1}{3}\right)^{0}\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\)	\(_{2}{C}_{1}\left(\frac{1}{3}\right)^{1}\left(\frac{2}{3}\right)^{1}\)	\(_{2}{C}_{2}\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{0}\)
  	\(\dfrac{4}{9}\)	\(\dfrac{4}{9}\)	\(\dfrac{1}{9}\)
  보수	0	1,000	2,000

  • 기대보수
  \[0\times \frac{4}{9}+1,000\times \frac{4}{9}+2,000\times \frac{1}{9}=\frac{2,000}{3}\]

• 공정한 동전 세 개를 던져 앞면이 나온 수만큼 1,000원을 받는 게임, 게임의 지불금액은 0

  • 확률변수 \(X=0,~1,~2,~3\)

  • \(X\)는 모수가 \((3,~1/2)\)인 이항확률변수

  \(X\)	0	1	2	3
  이항확률	\(_{3}{C}_{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\)	\(_{3}{C}_{1}\left(\frac{1}{2}\right)^{1}\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\)	\(_{3}{C}_{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{1}\)	\(_{3}{C}_{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{0}\)
  	\(\dfrac{1}{8}\)	\(\dfrac{3}{8}\)	\(\dfrac{3}{8}\)	\(\dfrac{1}{8}\)
  보수	0	1,000	2,000	3,000

  • 기대보수
  \[0\times \frac{1}{8}+1,000\times \frac{3}{8}+2,000\times \frac{3}{8}+3,000\times \frac{1}{8}=1,500\]

• 다음의 보수행렬을 보고 물음에 답하시오.

  

  • Player 2의 \(Left\) 선택의 기대보수는?
  \[p\times 7+(1-p)\times 2\]
  • Player 1의 \(Up\) 선택의 기대보수는?
  \[q_{1}\times 3+q_{2}\times 4+(1-q_{1}-q_{2})\times 1\]

확률기초 정리하기

• 게임이론에 응용하여 답할 수 있다.

  • 경기자와 전략을 파악할 수 있다.

  • 각 경기자의 전략에 따른 게임의 결과가 몇 가지인지 파악할 수 있다.

  • 상대방의 혼합전략에 따른 자신의 기대보수를 계산할 수 있다.

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