조건부 확률과 사전-사후 확률
내쉬균형이란 경기자 모두 상대방의 전략에 최적대응을 하며, 더 이상 전략을 변경하지 않는 상태이다.
객관적인 사실을 정확히 알 수 없거나 상대방의 행위를 관찰할 수 없는 경우가 존재한다.
정보의 비대칭성이란 한 경기자는 객관적 사실을 알고 있거나 상대방의 행위를 관찰할 수 있으나, 다른 경기자는 이에 대한 정보가 부족한 경우를 의미한다.
조건의 변화, 즉 정보의 추가로 최적대응은 변화할 수 있다.
분할과 조건부확률
핵심만 쏙쏙!
상대방의 전략이 주어졌다는 가정 하에 최적대응을 모색하는 것이 내쉬균형이다.
상대방이 하나의 Action만을 선택한다면 순수전략 내쉬균형을 구할 수 있다.
상대방이 여러 Action을 확률변수로 구성하면 혼합전략 내쉬균형을 구할 수 있다.
베이지안 내쉬균형을 이해하기 위해서는 조건부확률의 개념을 알아야 한다.
사적정보가 존재하는 경우 즉, 상대방이 Love-type인지 Hate-type인지에 따라 보수(pay-off)는 상이하다.
상대방이 Love-type의 확률과 Hate-type의 확률에 따라 전략을 선택하고 그에 따라 보수가 결정된다.
집합의 분할(partition of a set)
주어진 집합을 여러 개의 집합으로 나누는 문제(분할)를 고려하자!
집합의 원소들을 비공(non-empty) 부분집합들에게 할당
모든 원소가 각자 정확히 하나의 부분집합에 속하게끔 하는 것
집합 \(X\)의 분할은 \(X\)의 공집합이 아닌 부분집합들로 이루어진, 분리합집합이 \(X\)인 집합들
(정의) 집합 \(X\)의 분할(partition of a set)은 다음 조건을 만족하는 집합족 \(P\)로 정의된다.
- \(P\)는 공집합을 원소로 하지 않는다.
\(P\)는 \(X\)를 덮는다.
- 덮개cover는 합집합이 전체 집합인 부분 집합들의 집합족이다.
\(P\)는 서로소 집합족이다.
- \(A,~B\in P\)이고 \(A\neq B\)이면 \(A \cap B=\emptyset\)
(예시) \(X=\{1,~2\}\)
- 분할은 2개
\(\{\{1,~2\}\}\), \(\{\{1\},~\{2\}\}\)
(예시) \(X=\{a,~b,~c\}\)
- 분할은 5개
\(\{\{a,~b,~c\}\}\), \(\{\{a\},~\{b\},~\{c\}\}\), \(\{\{a,~b\},~\{c\}\}\), \(\{\{a,~c\},~\{b\}\}\), \(\{\{a\},~\{b,~c\}\}\)
조건부 확률(conditional probability)
조건부확률 \(P(B \vert A)\)이란 \(A\)가 발생했다는 조건이 주어졌을 때 \(B\)가 발생할 확률을 말한다.
\(P(A)>0\)이면 다음과 같이 정의한다.
\[P(B \vert A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\]
(예제) 사라진 구슬이 방 왼쪽 틈새에 있다는 확신은 30\%, 오른쪽 틈새에 있다는 확신은 50%이다. 오른쪽 틈새에서 찾지 못했다면 다른 틈새에 있을 확률은?
- 오른쪽(\(R\)) 틈새에서 찾지 못했다면 다른 틈새에 있을 확률 \(\rightarrow\) \(P(L \vert R^{c})\)
베이즈 정리(Bayesian rule)
사건 \(A\)와 사건 \(B\)
\[\begin{split} P(B \vert A)&=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}~~\rightarrow~~P(A\cap B)=P(B \vert A)P(A)\\ P(A \vert B)&=\frac{P(B\cap A)}{P(B)}~~\rightarrow~~P(B\cap A)=P(A \vert B)P(B)\\ \end{split}\](서로 배반) \(A\cap B^{c}\), \(A\cap B\), \(B\cap A^{c}\)
\[\begin{split} P(A\cap B)&=P(B\cap A)\\ P(A \vert B)P(B)&=P(B \vert A)P(A) \end{split}\]
사건 \(A\)와 사건 \(B\)
\[\begin{split} P(B \vert A)&=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\\ A&=(A\cap B)\cup (A\cap B^{c})\\ P(A)&=P(A\cap B)+ P(A\cap B^{c})\\ &=P(A \vert B)P(B)+P(A \vert B^{c})P(B^{c})\\ &=P(A \vert B)P(B)+P(A \vert B^{c})(1-P(B))\\ \end{split}\] \[\begin{split} P(A \vert B)&=\frac{P(B\cap A)}{P(B)}\\ B&=(B\cap A)\cup (B\cap A^{c})\\ P(B)&=P(B\cap A)+ P(B\cap A^{c})\\ &=P(B \vert A)P(A)+P(B \vert A^{c})P(A^{c})\\ &=P(B \vert A)P(A)+P(B \vert A^{c})(1-P(A))\\ \end{split}\]간단한 예시를 아래의 표를 통하여 살펴보자.
- 반을 기준으로 앞의 표를 정리하면
- 취미를 기준으로 표를 정리하면
베이즈 정리를 이용하자.
\[\begin{split} P(B_{j})&=P(B_{j}\vert A_{1})P(A_{1})+P(B_{j}\vert A_{2})P(A_{2})+P(B_{j}\vert A_{3})P(A_{3})\\ &=\sum_{i=1}^{3}P(B_{j}\vert A_{1})P(A_{i})\\ \sum_{j=1}^{4}P(B_{j})&=\sum_{j=1}^{4}\sum_{i=1}^{3}P(B_{j}\vert A_{i})P(A_{i})=1\\ \end{split}\] \[\begin{split} P(A_{i})&=P(A_{i}\vert B_{1})P(B_{1})+P(A_{i}\vert B_{2})P(B_{2})+P(A_{i}\vert B_{3})P(B_{3})+P(A_{i}\vert B_{4})P(B_{4})\\ &=\sum_{j=1}^{4}P(A_{i}\vert B_{j})P(B_{j})\\ \sum_{i=1}^{3}P(A_{i})&=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{4}P(A_{i}\vert B_{j})P(B_{j})=1\\ \end{split}\]문제 해결을 위해서 다음의 표를 이용하자.
- \(A_{i},~i=1,~2,~3\)는 원인으로, \(B_{j},~j=1,~2,~3,~4\)는 결과로 파악하자.
- (예제) 혈액검사를 통해 질병에 걸렸을 때 그 질병을 발견하는 97% 효과가 있다고 한다. 하지만 검사를 받은 사람들 중 2%에 대해서는 잘못된 양성반응을 보인다. 인구의 0.4%가 이 질병에 걸렸다면 검사결과가 양성인 사람이 실제로 질병에 걸렸을 확률을 구하라.
- (예제) 보험에 가입하는 사람들의 부류는 사고를 잘 당하는 사람과 잘 당하지 않는 사람이다. 주어진 기간 내에 사고를 잘 당하는 사람은 사고가 발생할 확률이 0.3이고, 사고를 잘 당하지 않는 사람은 사고가 발생할 확률이 0.1이다. 사고를 잘 당하는 사람은 인구의 20%라고 알려져 있다. 새로운 보험계약자가 주어진 기간 내에 사고를 당할 확률을 구하라.
오즈(odds) 또는 승산
새로운 증거가 나타날 때 어떤 가설에 대한 확률의 변화는 이 가설의 오즈 또는 승산에서의 변화로 간편하게 표현
사건 \(A\)의 오즈는 다음과 같이 정의한다.
\[\frac{P(A)}{P(A^{c})}=\frac{P(A)}{1-P(A)}\]즉 사건 \(A\)의 오즈는 사건 \(A\)가 발생할 가능성이 사건 \(A\)가 발생하지 않을 가능성보다 얼마나 큰지를 알려준다. 오즈가 \(\alpha\)이면 그 가설을 지지하는 데 승산이 \(\alpha\) 대 1이라고 한다.
참일 확률이 \(P(H)\)인 새로운 가설 \(H\)를 고려하고 새로운 증거 \(E\)가 도입되었다.
새로운 증거 \(E\)가 주어졌을 때 \(H\)가 참일 조건부 확률과 \(H\)가 참이 아닐 조건부 확률은 다음과 같다.
\[\begin{split} P(E\cap H)&=P(E\vert H)P(H)\\ P(H\vert E)&=\frac{P(E\cap H)}{P(E)}\\ &=\frac{P(E\vert H)P(H)}{P(E)}\\ \end{split}\] \[\begin{split} P(E\cap H^{c})&=P(E\vert H^{c})P(H^{c})\\ P(H^{c}\vert E)&=\frac{P(E\cap H^{c})}{P(E)}\\ &=\frac{P(E\vert H^{c})P(H^{c})}{P(E)}\\ \end{split}\]증거 \(E\)가 도입된 후 새로운 오즈는 다음과 같다.
\[\frac{P(H\vert E)}{P(H^{c}\vert E)}=\frac{P(H)}{P(H^{c})} \frac{P(E\vert H)}{P(E\vert H^{c})}\]
독립사건
조건부확률 \(P(A\vert B)\)과 비조건부확률 \(P(A)\)
사건 B가 발생했다는 전제 하에 사건 A가 발생할 조건부 확률 \(P(A\vert B)\)와 사건 A가 발생할 확률 \(P(A)\)는 일반적으로 같지 않음
\[P(A\vert B)\neq P(A)\]특별한 경우 \(P(A\vert B)= P(A)\)
\(B\)가 발생했다는 사실이 \(A\)가 발생할 확률을 변화시키지 않으면 \(A\)와 \(B\)는 독립이다.
\[P(A\vert B)= \frac{P(B\cap A)}{P(B)}~~\rightarrow~~P(B\cap A)=P(B)P(A)\]\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\)이 성립되면 두 사건 \(A\)와 \(B\)는 독립(independent)이라고 한다. 독립이 아닌 두 사건 \(A\)와 \(B\)는 종속(dependent)이라고 한다.
응용해 봅시다.
수사 단계에서 담당 수사관이 용의자가 범인임을 70% 확신하고 있다. 범인이 특징을 가지고 있음을 보여주는 새로운 증거가 발견되었으며, 인구의 15%가 이 특징을 가지고 있다. 용의자가 이 특징을 가지고 있다고 판명되었다면 담당수사관은 용의자가 범인임을 어느 정도로 확신하는가?
- (풀이)
- 승산을 이용하면 \(\frac{140}{9}:1\)이므로 \(\frac{140}{149}\)임을 알 수 있다.
주머니에 A 형태의 동전 3개와 B형태의 동전 2개가 들어 있다. A 형태의 동전은 동전 던지기에서 앞면 확률은 1/3이고, B 형태의 동전은 동전 던지기에서 앞면 확률은 2/3이다. 주머니에서 동전 하나를 무작위로 선택하여 던졌을 때 앞면이 나왔다면 A 형태의 동전일 확률은?
- (풀이)
- 승산을 이용하면 \(\frac{3}{4}:1\)이므로 \(\frac{3}{7}\)임을 알 수 있다.
카드 게임에서 52장의 카드를 A, B, C, D에게 각각 13장씩 돌렸다. B와 C에게 클로버 카드가 7장이면 A가 나머지 6장의 클로버 카드 중 4장을 가질 확률을 구하라.
A가 26장의 카드 중 13장을 받는 경우의 수 \({}_{26}{C}_{13}\)
6장의 카드 중 4장을 받는 경우의 수 \({}_{6}{C}_{4}\)
나머지 카드를 받는 경우의 수 \({}_{20}{C}_{9}\)
52장으로 구성된 카드묶음에서 무작위로 1장을 선택할 때 클로버인 사건을 \(A\), 3인 사건을 \(B\)라고 하자. \(A\)와 \(B\)는 독립인가? 종속인가?
\[P(A)=\frac{13}{52}\] \[P(B)=\frac{4}{52}\] \[P(A\cap B)=\frac{1}{52}\]- \(P(A\cap B)=\frac{1}{52}\)과 \(P(A)P(B)=\frac{13}{52}\frac{4}{52}=\frac{1}{52}\)는 일치하므로 독립
다음의 보수행렬을 보고 물음에 답하시오.
Player 2가 \(Center\)를 선택한다면 Player 1의 최적대응은 무엇인가? \(Up\)
Player 1이 \(Down\)을 선택한다면 Player 2의 최적대응은 무엇인가? \(Center\)
사전확률과 사후확률
핵심만 쏙쏙!
상대방의 주어진 전략이 한정된 정보에 의한 것이라면 최적대응이라 할 수 없다.
추가적인 정보를 이용하여 상대방의 주어진 전략을 갱신(update)하여 합리적인 의사결정에 활용할 수 있다.
베이즈 정리(Bayesian rule)
사전 확률(prior probability) \(P(A)\)
- 사건 B가 발생하기 전에 가지고 있던 사건 A의 확률
사후 확률(posterior probability) \(P(A\vert B)\)
- 사건 B가 발생한 후 갱신된 사건 A의 확률
위의 식을 이용하면
\[\begin{split} P(A\vert B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}&\rightarrow P(A\cap B)=P(A\vert B)P(B)\\ P(B\vert A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}&\rightarrow P(B\cap A)=P(B\vert A)P(A)\\ P(A\vert B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}&\rightarrow P(A\vert B)=\frac{P(B\vert A)P(A)}{P(B)}\\ \end{split}\]사후확률 \(P(A\vert B)\)은 사전확률 \(P(A)\)에 \(\dfrac{P(B\vert A)}{P(B)}\)을 곱하여 얻을 수 있다.
\(P(B\vert A)\)를 가능도(likelihood)라 하고,
\(P(B)\)를 정규화 상수(normalizing constant) 또는 증거(evidence)라 한다.
사건 B가 진실이라는 것을 알게 됨으로써 사건 A가 어떻게 변화하는지를 표현한 정리
새로운 정보(E)가 기존의 추론(H)에 어떻게 영향을 미치는지를 파악 가능
\[P(H\vert E)=\frac{P(E\vert H)}{P(E)}P(H)\]확률의 승법 정리(Multiplication Theorem of Probability) (결합확률 또는 동시확률)
- 두 사건 A, B 모두 만족하는\(A\cap B\)가 일어날 (즉, 동시에 또는 함께 일어날) 확률은,
- (1) 상호종속일 때, (즉, 서로간에 상관성 있을 때) 한쪽 확률에 조건부확률을 곱한 것
- (2) 상호독립일 때, (즉, 서로간에 상관성 없을 때) 한쪽 확률에 다른쪽 확률을 곱한 것
- 따라서, 한쪽 확률에 조건부확률 또는 다른쪽 확률을 곱한 것과 같다.
분할 이용 \(i=1,~2,\cdots,~n\)
사건 \(A_{i}\)와 사건 사건 \(A_{j}\)는 서로 배타적
\[A_{i}\cap A_{j}=\emptyset~~~~~i\ne j\]사건 \(A_{i}\)는 완전
\[A_{1}\cup A_{2}\cup\cdots A_{n}=\Omega\]
\[\begin{split} P(A_{k}\mid B)&=\dfrac{P(A_{k}\cap B)}{P(B)}\\ &=\dfrac{P(B\mid A_{k})P(A_{k})}{P(B)}\hspace{2.8cm}\because \text{승법공식}\\ &=\dfrac{P(B\mid A_{k})P(A_{k})}{\sum_{i=1}^{n}P(B\mid A_{i})P(A_{i})}\hspace{2cm}\because \text{전확률공식} \end{split}\]전확률 공식(Law of Total Probability)
- \(A_{1},\,\cdots\,A_{n}\)이 표본공간 \(S\)의 한 분할(partition)일 때, 임의의 사건 \(B\)에 대하여 다음이 성립한다.
전확률 공식을 이용한 베이즈 정리의 확장 \(A_{1}\), \(A_{2}\), \(A_{3}\)
B라는 힌트에 따라 \(A_{1}\), \(A_{2}\), \(A_{3}\) 중 B에 대한 조건부 확률
\[\begin{split} P(A_{1}\vert B)&=\frac{P(B\mid A_{1})P(A_{1})}{P(B\mid A_{1})P(A_{1})+P(B\mid A_{2})P(A_{2})+P(B\mid A_{3})P(A_{3})}\\ P(A_{2}\vert B)&=\frac{P(B\mid A_{2})P(A_{2})}{P(B\mid A_{1})P(A_{1})+P(B\mid A_{2})P(A_{2})+P(B\mid A_{3})P(A_{3})}\\ P(A_{3}\vert B)&=\frac{P(B\mid A_{3})P(A_{3})}{P(B\mid A_{1})P(A_{1})+P(B\mid A_{2})P(A_{2})+P(B\mid A_{3})P(A_{3})}\\ \end{split}\]전확률(total probability) 공식 \(A\ne A^{c}\)
\[P(B)=P(B\mid A)P(A)+P(B\mid A^{c})P(A^{c})\]전확률 공식을 이용한 베이즈 정리의 확장 \(A\), \(A^{c}\)
\[\begin{split} P(A\vert B)&=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B\mid A)P(A)+P(B\mid A^{c})P(A^{c})}\\ &=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B\mid A)P(A)+P(B\mid A^{c})(1-P(A))}\\ P(A^{c}\vert B)&=\frac{P(B\mid A^{c})P(A^{c})}{P(B\mid A)P(A)+P(B\mid A^{c})P(A^{c})}\\ &=\frac{P(B\mid A^{c})(1-P(A))}{P(B\mid A)P(A)+P(B\mid A^{c})(1-P(A))}\\ \end{split}\]
응용해 봅시다.
제약사에서 환자가 특정한 병균을 보유하고 있는지 확인하는 시약을 만들었다. 병균을 보유한 환자에게 시약을 테스트한 결과 99%의 확률로 양성 반응을 보였다. 병균보유가 확인되지 않은 어떤 환자가 이 시약을 테스트한 결과 양성 반응을 보였다면 이 환자가 그 병균을 보유하고 있을 확률을 구하시오.
병균을 보유하고 있는 사건 \(A\)
양성반응을 보이는 사건 \(B\)
병균을 보유하고 있는 사람이 양성반응을 보이는 조건부 사건 \(B\vert A\)
양성반응을 보이는 사람이 병균을 보유하고 있는 조건부 사건 \(A\vert B\)
(정보) 병균을 보유한 환자에게 시약을 테스트한 결과 99\%의 확률로 양성 반응
- (의문) 어떤 환자가 양성 반응을 보였다면 이 환자가 그 병균을 보유하고 있을 확률
추가 정보 필요 \(P(A)\), \(P(B\vert A^{c})\)
전체 인구 중 병균을 보유하고 있는 확률 0.2% \(P(A)=0.002\)
잘못된 결과가 나타난 확률 \(P(B\vert A^{c})=0.05\)
- 정리하면
Player 1은 Player 2가 \(Center\)와 \(Right\)만 순수전략으로 가지고 있다고 알고 있다. Player 1의 \(Up\) 선택에 따른 Player 2의 최적대응은 무엇이라고 Player 1은 기대하는가? 또한, Player 1의 \(Down\) 선택에 따른 Player 2의 최적대응은 무엇이라고 Player 1은 기대하는가?
- \(Up\rightarrow Right\), \(Down \rightarrow Center\)
Player 1은 Player 2가 \(Center\)와 \(Right\)뿐만 아니라 \(Left\)도 순수전략으로 가지고 있다고 알고 있다. Player 1의 \(Up\) 선택에 따른 Player 2의 최적대응은 무엇이라고 Player 1은 기대하는가? 또한, Player 1의 \(Down\) 선택에 따른 Player 2의 최적대응은 무엇이라고 Player 1은 기대하는가?
- \(Up\rightarrow Left\), \(Down \rightarrow Center\)
사전확률과 사후확률의 응용
핵심만 쏙쏙!
사전적으로 주어진 확률을 알면 베이즈 정리를 활용하여 사후확률을 구할 때 응용할 수 있다.
정보가 불완전한 상황을 묘사하는 베이지안 게임의 경우에 경기자가 분명히 모르는 상대방의 유형(type)에 따라 자신의 보수가 결정된다.
상대방의 유형(type)에 대한 조건부 확률을 이용하여 각 경기자는 자신의 기대보수를 계산하고, 이를 바탕으로 베이지안 균형을 도출할 수 있다.
원인과 결과
\(A_{i}~~i=1,~2,~3\)는 원인을, \(B_{j}~~j=1,~2,~3,~4\)는 결과라고 하자.
다음의 표를 완성하고 \(P(B_{j}) ~~j=1,~2,~3,~4\)를 구하라.
표를 완성하면
사전확률(초기확률)(prior probability)
상호배반이며 전체를 이루는 가능한 가설 \(n\)개 있다고 하자.
\[\sum_{i=1}^{n}P(H_{i})=1\]
사후확률(posterior probability) 또는 갱신될 확률(updated probability)
사건 \(E\)가 발생했다는 정보를 접하면 \(H_{i}\)가 참인 가설일 조건부확률
\[P(H_{i}\vert E)=\frac{P(E\vert H_{i})P(H_{i})}{\sum_{j=1}^{n}P(E\vert H_{j})P(H_{j})}\]\(E_{1}\) 발생
- 사건 \(E_{1}\)가 발생했다는 정보를 접하면 \(H_{i}\)가 참인 가설일 조건부확률
\(E_{1}\) 발생 후 \(E_{2}\) 발생 \(\rightarrow\) \(E_{1}E_{2}=E_{1}\cap E_{2}\)
- 추가로 사건 \(E_{2}\)가 발생했다는 정보를 접하면 \(H_{i}\)가 참인 가설일 조건부확률
\(E_{1}\)과 \(E_{2}\)가 조건부 독립이라면
추가로 사건 \(E_{2}\)가 발생했다는 정보를 접하면 \(H_{i}\)가 참인 가설일 조건부확률
\[\begin{split} P(E_{1}E_{2}\vert H_{j})&=P(E_{2}\vert H_{j})P(E_{1}\vert H_{j})~~~~~for~j=1,~2,\cdots,~n\\ P(H_{i}\vert E_{1}E_{2})&=\frac{P(E_{1}E_{2}\vert H_{i})P(H_{i})}{P(E_{1}E_{2})}=\frac{P(E_{2}\vert H_{i})P(E_{1}\vert H_{i})P(H_{i})}{P(E_{1}E_{2})}\\ &=\frac{P(E_{2}\vert H_{i})P(E_{1}\cap H_{i})}{P(E_{1}E_{2})}=\frac{P(E_{2}\vert H_{i})P(H_{i}\vert E_{1})P(E_{1})}{P(E_{1}E_{2})}\\ &=\frac{P(E_{2}\vert H_{i})P(H_{i}\vert E_{1})P(E_{1})}{P(E_{1}E_{2})}\\ &=\frac{P(E_{2}\vert H_{i})P(H_{i}\vert E_{1})}{Q(1,~2)}~~~~~~~~~~~\because Q(1,~2)=\frac{P(E_{1}E_{2})}{P(E_{1})}\\ \end{split}\]모든 \(i\)에 대해서 위의 식이 타당하기에
\[\begin{split} 1=\sum_{i=1}^{n}P(H_{i}\vert E_{1}E_{2})&=\sum_{i=1}^{n}\frac{P(E_{2}\vert H_{i})P(H_{i}\vert E_{1})}{Q(1,~2)}~~~~~~~~ \therefore Q(1,~2)=\sum_{i=1}^{n}P(E_{2}\vert H_{i})P(H_{i}\vert E_{1})\\ \end{split}\]따라서, 다음과 같은 결론을 얻는다.
\[P(H_{i}\vert E_{1}E_{2})=\frac{P(E_{2}\vert H_{i})P(H_{i}\vert E_{1})}{\sum_{i=1}^{n}P(E_{2}\vert H_{i})P(H_{i}\vert E_{1})}\]
혼합전략에 적용
경기자 1의 전략은 \(A_{1}\), \(A_{2}\), \(A_{3}\) \(P(A_{i})\), \(P(B_{j}\vert A_{i})\) \(\rightarrow\) \(P(B_{j})\)
경기자 2의 전략은 \(B_{1}\), \(B_{2}\), \(B_{3}\), \(B_{4}\) \(P(B_{j})\), \(P(A_{i}\vert B_{j})\) \(\rightarrow\) \(P(A_{i})\)
응용해 봅시다.
공정한 카드 3장이 있다. 첫 번째 카드는 양면이 모두 파란색, 두 번째 카드는 양면이 모두 하얀색, 세 번째 카드는 한면은 파란색, 다른 면은 하얀색이다. 무작위로 1장을 뽑을 때, 카드의 파란색이면 다른 면이 하얀색일 확률을 구하라.
3장의 카드를 BB, WW, BW라고 칭하자.
각 카드의 확률을 \(P(BB)\), \(P(WW)\), \(P(BW)\)이라고 하면,
3 종류의 건전지가 있다. 건전지가 20시간 이상 사용할 수 있는 확률이 각각 0.6, 0.2, 0.4이라고 알려져 있다. 총 건전지 중 종류 1은 30%, 종류 2는 45%, 종류 3은 25%이다.
각 건전지의 종류를 \(A_{1}\), \(A_{2}\), \(A_{3}\)라 하고, 20시간 이상 사용할 사건을 \(B\)라 하자.
(1) 무작위로 건전지를 선택할 때 20시간 이상 사용할 수 있는 확률을 구하라.
- (2) 건전지를 20시간 이상 사용하였다면 어떤 종류일지 조건부확률을 구하라.
공정한 동전을 두 번 던지자. (1) 첫 번째 동전이 앞면, (2) 적어도 한 번 앞면이 나온다는 각각의 조건이 주어졌을 때 두 번 모두 앞면이 나올 조건부 확률을 구하라.
표본공간 \(S=\{HH,~HT,~TH,~TT\}\), 앞면 \(H\), 뒷면 \(T\)
(1) 첫 번째 동전이 앞면, 두 번째 동전이 앞면
- 첫 번째 동전이 앞면인 사건 \(A=\{HH,~HT\}\), 두 번째 동전이 앞면인 사건 \(B=\{HH,~TH\}\)
(2) 적어도 한 번 앞면이 나온다는 각각의 조건이 주어졌을 때 두 번 모두 앞면
- 첫 번째 동전이 앞면인 사건 \(C=\{HH,~HT,~TH\}\), 두 번째 동전이 앞면인 사건 \(D=\{HH\}\)
다음의 표를 이용하여 \(P(Up\vert Center)\)를 구하시오.
정리하기
게임이론에 응용하여 답할 수 있다.
정보가 주어지면 상대방이 어떤 전략을 가지고 있는지 파악할 수 있다.
상대방의 전략에 따라 자신의 최적 대응을 구할 수 있다.