역도함수와 적분

역도함수(Antiderivative)

다음의 성질을 만족할 때 함수 \(F\)를 함수 \(f\)의 역도함수(Antiderivative)라고 한다.
정의역의 모든 \(x\)에 대하여 \(F^{\prime}(x) = f(x)\)

실수 공간에서 정의된 \(f(x)=x\)의 역도함수를 생각해보자. 이는 어떤 함수를 한번 미분했을 때, \(x\)가 되었는지를 고려하는 것이다.
\(\dfrac{1}{2}x^{2}\), \(\dfrac{1}{2}x^{2} +1\), \(\dfrac{1}{2}x^{2} -1\) 등이 이를 만족하는 함수들이다.
상수를 \(x\)에 대해 미분하면, \(0\)이 됨을 상기하여 보면, 위 문제의 답은 \(F(x) = \dfrac{1}{2}x^{2} + C\)이다. 여기에서 \(C\)는 임의의 실수로서, 이를 적분상수라고 부른다.

실수집합에서 정의된 함수 \(f\)가 적분가능하다고 하자. 두 실수 \(a < b\) 가 주어졌을 때, \(F^{\prime} = f\)에 대하여 다음의 등식이 성립한다.
\[\int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(b) - F(a)\]

함수 \(f\)의 도함수가 접선의 기울기와 밀접한 관련이 있음을 알고 있다.
주어진 정의역에서 \(f(x)\)가 모두 양수이나 0이라 가정해 보자. 그렇다면 구간 \(a < b\)에서 f를 적분하는 것은 \(a < b\)구간에서 함수 \(f\)의 그래프의 밑면적을 구하는 것과 같다.
따라서 위의 예시의 문제는 0에서 1부터 \(f(x) = x^{2}\)의 그래프의 밑면적의 넓이이다.

유한한(이산적인) 표본공간에서 배운 확률변수의 개념은, 실수의 특정구간에 속하는 모든값이 가능한 결과로 나올 수 있는 연속적인 표본공간에서의 확률변수의 개념으로 확장가능하다.
예를 들어 \([0,1] = \{ x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b \}\)과 같은 표본공간에서 무작위로 추출되는 실수 \(x\)를 생각해 보자.

위의 예시에서 \(x\)가 \(\dfrac{1}{2}\) 일 확률은 \(0\)이다. 꼭 \(\dfrac{1}{2}\)가 아니더라도, 한 점이 발생할 확률은 \(0\)이다.
엄밀함을 양보하고, 직관적으로 이는 전체길이가 \(1\)인 선분 중에서, 길이가 \(0\)인 한 점이 실현될 확률은 \(0\)이라는 이야기로 접근될 수 있다.
따라서 연속확률변수는 \(x\)는 확률변수 \(x\)가 어떠한 구간 안에 있을 확률에 관심이 있고 이는 확률밀도함수(Probability Density Function) \(f\)로 표현된다.
확률변수 \(x\)가 구간 \([a,b]\)안에 존재할 확률은 다음과 같이 정의된다.
\[Prob( a \leq x \leq b ) = \int_{a}^{b}{f(x)dx}\]

한편 \(Prob( a \leq x \leq b ) = \int_{a}^{b}{f(x)dx}\)을 계산하기 위해서는 \(F^{\prime}=f\)를 만족하는 \(F\)를 고려해야 한다.
\([0,1]\) 구간에서 추출된 \(x\)의 PDF \(f\)가 다음과 같다고 하자. \(f(x) = 1\).
위의 PDF와 확률의 정의를 이용하면, \(x\)가 \(0\)보다는 크고 \(b\)보다는 작을 확률은 다음과 같다.
\[Prob(0 \leq x \leq b) = \int_{0}^{b}{f(x)dx} = \int_{0}^{b}{1 dx} = F(b) - F(0) = b - 0 = b\]
위 계산에서 \(F\)는 \(F(x)=x\)임을 쉽게 확인할 수 있다. 이 \(F\)가 확률변수 \(x\)의 누적분포함수이다.
특별히 위의 \(x\)는 균등분포(Uniform distriubution)을 따른다고 한다.
이해를 돕기 위하여 쉽게 이야기하자면, \(x\)가 \(b\)보다 작을 확률이 \(F(b)\)가 되는 함수를, \(x\)의 누적분포함수(Cumulative Distribution Function)이라고 한다.
위의 계산예시를 통하여, CDF를 미분하면 PDF가 됨을 알수 있다.

위의 PDF를 이용하면, 연속확률변수 \(x\)에 대한 함수 \(g(x)\)의 기댓값, 평균을 다음과 같이 정의한다.
\[\mathbb{E}[g(x)] = \int_{a}^{b}{ g(x) f(x) dx }\]
예를 들어, \([0,1]\)에서 균등분포를 따르는 \(x\)의 기댓값, 평균은 다음과 같이 계산될 수 있다.
\[\int_{0}^{1}{ x f(x) dx} = \int_{0}^{1}{ x dx} = \dfrac{1}{2}x^{2} \rvert_{0}^{1} = \dfrac{1}{2} - 0 = \dfrac{1}{2}\]
만약 \([0,1]\)에서 균등분포를 따르는 \(x\)를 두배한 \(2x\)의 기댓값은 다음과 같이 계산될 수 있다.
\[\int_{0}^{1}{ 2x f(x) dx} = \int_{0}^{1}{ 2x dx} = x^{2} \rvert_{0}^{1} = 1 - 0 = 1\]